Найди производную для выражений: 1/4x^8 + 3sin3x и 1/3x^3 + 1/2ln4x

Привет! Давай разберёмся, как находить производные. Это как решать головоломку по специальным правилам. **Допущение:** В задании нужно найти производные указанных функций. **2) Найдём производную функции $y = \frac{1}{4}x^8 + 3\sin(3x)$** Чтобы найти производную от суммы двух частей, нужно просто найти производную каждой части по отдельности, а потом сложить результаты. * **Первая часть: $(\frac{1}{4}x^8)'$** Здесь используем правило для степеней $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$. $$(\frac{1}{4}x^8)' = \frac{1}{4} \cdot (x^8)' = \frac{1}{4} \cdot 8x^{8-1} = 2x^7$$ * **Вторая часть: $(3\sin(3x))'$** Это «сложная» функция, как матрёшка. Сначала берём производную от внешней части (синуса), а потом умножаем на производную от того, что внутри (аргумента $3x$). $$(\sin(u))' = \cos(u) \cdot u'$$ В нашем случае $u = 3x$, а производная $(3x)' = 3$. $$(3\sin(3x))' = 3 \cdot \cos(3x) \cdot (3x)' = 3 \cdot \cos(3x) \cdot 3 = 9\cos(3x)$$ * **Собираем всё вместе:** $$y' = 2x^7 + 9\cos(3x)$$ **Ответ: $2x^7 + 9\cos(3x)$** **5) Найдём производную функции $y = \frac{1}{3x^3} + \frac{1}{2}\ln(4x)$** Здесь действуем так же — по частям. * **Первая часть: $(\frac{1}{3x^3})'$** Чтобы было проще, перепишем дробь как степень с отрицательным показателем: $\frac{1}{3x^3} = \frac{1}{3}x^{-3}$. Теперь используем то же правило для степеней. $$(\frac{1}{3}x^{-3})' = \frac{1}{3} \cdot (-3)x^{-3-1} = -1 \cdot x^{-4} = -\frac{1}{x^4}$$ * **Вторая часть: $(\frac{1}{2}\ln(4x))'$** Это снова сложная функция. Правило для натурального логарифма: $(\ln(u))' = \frac{1}{u} \cdot u'$. Здесь $u=4x$, а производная $(4x)' = 4$. $$(\frac{1}{2}\ln(4x))' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4x} \cdot (4x)' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4x} \cdot 4 = \frac{4}{8x} = \frac{1}{2x}$$ * **Собираем всё вместе:** $$y' = -\frac{1}{x^4} + \frac{1}{2x}$$ **Ответ: $-\frac{1}{x^4} + \frac{1}{2x}$**