На заводе трудятся рабочие разной квалификации. Рабочий высшего разряда может выполнить заказ за 12 дней, менее опытный рабочий — за 20 дней. Рабочий самой низкой квалификации выполнит этот заказ за 30 дней. За сколько дней выполнят этот заказ бригада из трёх рабочих разной квалификации?

Привет! Давай разберём эти задачки. Некоторые из них, к сожалению, видно не очень чётко (№14, 23 и 24), поэтому я решу те, которые хорошо читаются. Если уточнишь условия для остальных, я с радостью помогу и с ними! ### №15 Давай представим всю работу как одну большую задачу (обозначим её за 1). Тогда мы сможем посчитать, какую часть работы каждый рабочий делает за один день. 1. Производительность (скорость работы) каждого рабочего: * Рабочий высшего разряда: $\frac{1}{12}$ задачи в день. * Менее опытный рабочий: $\frac{1}{20}$ задачи в день. * Рабочий низкой квалификации: $\frac{1}{30}$ задачи в день. 2. Теперь сложим их производительность, чтобы узнать, сколько они сделают вместе за один день: $$P_{общая} = \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30}$$ Приведём дроби к общему знаменателю 60: $$P_{общая} = \frac{5}{60} + \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6}$$ Вместе они делают $\frac{1}{6}$ всей работы за день. 3. Чтобы найти, за сколько дней они справятся со всей работой, нужно 1 разделить на их общую производительность: $$T = 1 \div \frac{1}{6} = 1 \cdot 6 = 6$$ **Ответ: 6 дней.** ### №16 Эта задачка похожа на предыдущую. Весь забор — это 1. 1. Скорость работы отца и сына вместе — $\frac{1}{12}$ забора в час. 2. Скорость работы отца одного — $\frac{1}{21}$ забора в час. 3. Чтобы найти скорость работы сына, вычтем из общей скорости скорость отца: $$P_{сын} = \frac{1}{12} - \frac{1}{21}$$ Общий знаменатель для 12 и 21 — это 84. $$P_{сын} = \frac{7}{84} - \frac{4}{84} = \frac{3}{84} = \frac{1}{28}$$ Сын красит $\frac{1}{28}$ забора в час. 4. Время, которое понадобится сыну, чтобы покрасить весь забор: $$T = 1 \div \frac{1}{28} = 28$$ **Ответ: 28 часов.** ### №17 В этой задаче важно правильно понять условие. Здесь говорится о времени, которое каждый из них тратит на весь путь целиком. 1. Пусть всё расстояние между пунктами будет $D$. Скорость велосипедиста — $v_в$, а пешехода — $v_п$. 2. Время, за которое велосипедист проезжает весь путь, — 16 минут. Значит, его скорость $v_в = \frac{D}{16}$. 3. Время, за которое пешеход проходит весь путь, — 48 минут. Его скорость $v_п = \frac{D}{48}$. 4. Они движутся навстречу друг другу. Чтобы найти время до встречи, нужно расстояние разделить на их общую скорость (скорость сближения): $$t_{встречи} = \frac{D}{v_в + v_п} = \frac{D}{\frac{D}{16} + \frac{D}{48}}$$ Можно вынести $D$ за скобки в знаменателе и сократить: $$t_{встречи} = \frac{D}{D(\frac{1}{16} + \frac{1}{48})} = \frac{1}{\frac{1}{16} + \frac{1}{48}}$$ 5. Сложим дроби в знаменателе. Общий знаменатель — 48. $$t_{встречи} = \frac{1}{\frac{3}{48} + \frac{1}{48}} = \frac{1}{\frac{4}{48}} = \frac{1}{\frac{1}{12}} = 12$$ **Ответ: через 12 минут.** ### №18 **а)** Задачка решается так же, как и про рабочих. 1. Общая скорость расхода материалов двумя цехами: $\frac{1}{10}$ всех материалов в день. 2. Скорость расхода первого цеха: $\frac{1}{15}$ всех материалов в день. 3. Находим скорость расхода второго цеха: $$Р_2 = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{3}{30} - \frac{2}{30} = \frac{1}{30}$$ 4. Значит, второму цеху материалов хватит на 30 дней. **Ответ: на 30 дней.** **б)** И эта задачка на ту же тему! 1. Общая производительность двух трактористов: $\frac{1}{6}$ поля в час. 2. Производительность первого: $\frac{1}{10}$ поля в час. 3. Находим производительность второго: $$P_2 = \frac{1}{6} - \frac{1}{10} = \frac{5}{30} - \frac{3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$$ 4. Второй тракторист вспашет поле за 15 часов. **Ответ: за 15 часов.** ### №19 1. Пусть расстояние будет $D$, скорость катера — $v_к$, а скорость течения — $v_т$. 2. По озеру (в стоячей воде) катер плывёт со своей скоростью: $D = v_к \cdot 6$, откуда $v_к = \frac{D}{6}$. 3. По течению катеру помогает река, их скорости складываются: $D = (v_к + v_т) \cdot 5$. 4. Подставим скорость катера в эту формулу: $D = (\frac{D}{6} + v_т) \cdot 5$. Отсюда найдём скорость течения: $\frac{D}{5} = \frac{D}{6} + v_т$ $v_т = \frac{D}{5} - \frac{D}{6} = \frac{6D - 5D}{30} = \frac{D}{30}$. 5. Против течения скорость катера уменьшается на скорость течения: $v_{против} = v_к - v_т$. 6. Найдём время движения против течения: $$t = \frac{D}{v_к - v_т} = \frac{D}{\frac{D}{6} - \frac{D}{30}} = \frac{1}{\frac{1}{6} - \frac{1}{30}} = \frac{1}{\frac{5}{30} - \frac{1}{30}} = \frac{1}{\frac{4}{30}} = \frac{30}{4} = 7,5$$ **Ответ: 7,5 часов.** ### №20 1. Пусть расстояние — $D$, скорость катера — $v_к$, скорость течения (и плота) — $v_т$. 2. Плот плывёт только за счёт течения: $D = v_т \cdot 72$, значит $v_т = \frac{D}{72}$. 3. Катер по течению плывёт со скоростью $v_к + v_т$: $D = (v_к + v_т) \cdot 8$. 4. Подставим скорость течения и найдём скорость катера: $D = (v_к + \frac{D}{72}) \cdot 8$ $\frac{D}{8} = v_к + \frac{D}{72}$ $v_к = \frac{D}{8} - \frac{D}{72} = \frac{9D - D}{72} = \frac{8D}{72} = \frac{D}{9}$. 5. Время против течения: $$t = \frac{D}{v_к - v_т} = \frac{D}{\frac{D}{9} - \frac{D}{72}} = \frac{1}{\frac{1}{9} - \frac{1}{72}} = \frac{1}{\frac{8}{72} - \frac{1}{72}} = \frac{1}{\frac{7}{72}} = \frac{72}{7} = 10\frac{2}{7}$$ **Ответ: $10\frac{2}{7}$ часов.** ### №21 1. Пусть расстояние — $D$, скорость лодки — $v_л$, скорость течения (и плота) — $v_т$. 2. По озеру лодка плывёт со своей скоростью: $D = v_л \cdot 4$, отсюда $v_л = \frac{D}{4}$. 3. Плот плывёт со скоростью течения: $D = v_т \cdot 12$, отсюда $v_т = \frac{D}{12}$. 4. Время по течению (скорости складываются): $$t_{по} = \frac{D}{v_л + v_т} = \frac{D}{\frac{D}{4} + \frac{D}{12}} = \frac{1}{\frac{1}{4} + \frac{1}{12}} = \frac{1}{\frac{3+1}{12}} = \frac{1}{\frac{4}{12}} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3$$ 5. Время против течения (скорости вычитаются): $$t_{против} = \frac{D}{v_л - v_т} = \frac{D}{\frac{D}{4} - \frac{D}{12}} = \frac{1}{\frac{1}{4} - \frac{1}{12}} = \frac{1}{\frac{3-1}{12}} = \frac{1}{\frac{2}{12}} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6$$ **Ответ: 3 часа по течению и 6 часов против течения.** ### №22 **1)** Обозначим производительность бригад как $p_1, p_2, p_3$. 1. Составим систему уравнений по условию: * $p_1 + p_2 = \frac{1}{9}$ * $p_2 + p_3 = \frac{1}{18}$ * $p_1 + p_3 = \frac{1}{12}$ 2. Сложим все три уравнения. Слева каждая производительность будет посчитана дважды: $$(p_1 + p_2) + (p_2 + p_3) + (p_1 + p_3) = \frac{1}{9} + \frac{1}{18} + \frac{1}{12}$$ $$2(p_1 + p_2 + p_3) = \frac{4}{36} + \frac{2}{36} + \frac{3}{36} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$$ 3. Теперь найдём общую производительность трёх бригад, разделив результат на 2: $$p_1 + p_2 + p_3 = \frac{1}{4} \div 2 = \frac{1}{8}$$ 4. Время выполнения работы тремя бригадами вместе: $$T = 1 \div \frac{1}{8} = 8$$ **Ответ: за 8 дней.** **2)** Эта задача очень похожа на предыдущую. Сначала переведём всё время в минуты. * 1 ч 10 мин = 70 мин * 1 ч 24 мин = 84 мин * 2 ч 20 мин = 140 мин 1. Обозначим скорость наполнения каждой трубой как $r_1, r_2, r_3$. * $r_1 + r_2 = \frac{1}{70}$ * $r_1 + r_3 = \frac{1}{84}$ * $r_2 + r_3 = \frac{1}{140}$ 2. Сложим уравнения: $$2(r_1 + r_2 + r_3) = \frac{1}{70} + \frac{1}{84} + \frac{1}{140}$$ Найдём общий знаменатель. Это 420. $$2(r_1 + r_2 + r_3) = \frac{6}{420} + \frac{5}{420} + \frac{3}{420} = \frac{14}{420} = \frac{1}{30}$$ 3. Общая скорость наполнения тремя трубами: $$r_1 + r_2 + r_3 = \frac{1}{30} \div 2 = \frac{1}{60}$$ 4. Это значит, что за 1 минуту все три трубы вместе наполняют $\frac{1}{60}$ бассейна. Весь бассейн они наполнят за 60 минут. **Ответ: за 60 минут (или 1 час).**