Привет! Давай разберёмся с этими уравнениями. Это показательные уравнения, и многие из них решаются похожим способом — через замену переменной. Смотри, как это просто!
### Решения:
**1) $3^{2x} - 3^x - 702 = 0$**
Заметим, что $3^{2x} = (3^x)^2$. Сделаем замену: пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t$ должно быть больше нуля ($t > 0$).
$$t^2 - t - 702 = 0$$
Это обычное квадратное уравнение. Найдём его корни через дискриминант:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-702) = 1 + 2808 = 2809 = 53^2$
$t_1 = \frac{1 + 53}{2} = 27$
$t_2 = \frac{1 - 53}{2} = -26$
Корень $t_2 = -26$ нам не подходит, так как $t > 0$. Остаётся $t_1 = 27$.
Вернёмся к замене:
$3^x = 27$
$3^x = 3^3$
$x = 3$
**Ответ: 3**
---
**2) $4^x - 2^x = 12$**
Перепишем уравнение: $(2^2)^x - 2^x - 12 = 0$, то есть $(2^x)^2 - 2^x - 12 = 0$.
Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.
$$t^2 - t - 12 = 0$$
Найдём корни. Можно по теореме Виета: $t_1 \cdot t_2 = -12$ и $t_1 + t_2 = 1$. Это числа 4 и -3.
$t_1 = 4$
$t_2 = -3$ (не подходит, так как $t>0$)
Вернёмся к замене:
$2^x = 4$
$2^x = 2^2$
$x = 2$
**Ответ: 2**
---
**3) $3^{2x-1} - 3^{x-1} = 2$**
Преобразуем степени: $\frac{3^{2x}}{3} - \frac{3^x}{3} = 2$. Умножим всё на 3, чтобы избавиться от дробей:
$3^{2x} - 3^x = 6$ или $(3^x)^2 - 3^x - 6 = 0$.
Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.
$$t^2 - t - 6 = 0$$
Корни по теореме Виета: $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.
$t_2 = -2$ не подходит. Остаётся $t_1 = 3$.
Вернёмся к замене:
$3^x = 3$
$3^x = 3^1$
$x = 1$
**Ответ: 1**
---
**4) $3 \cdot 9^x + 11 \cdot 3^x = 4$**
Перепишем: $3 \cdot (3^2)^x + 11 \cdot 3^x - 4 = 0$, то есть $3 \cdot (3^x)^2 + 11 \cdot 3^x - 4 = 0$.
Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.
$$3t^2 + 11t - 4 = 0$$
$D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169 = 13^2$
$t_1 = \frac{-11 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$t_2 = \frac{-11 - 13}{2 \cdot 3} = \frac{-24}{6} = -4$ (не подходит)
Вернёмся к замене:
$3^x = \frac{1}{3}$
$3^x = 3^{-1}$
$x = -1$
**Ответ: -1**
---
**5) $9^x - 3^x - 6 = 0$**
Это уравнение похоже на третье. $(3^x)^2 - 3^x - 6 = 0$.
Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.
$$t^2 - t - 6 = 0$$
Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$ (не подходит).
Вернёмся к замене:
$3^x = 3$
$x = 1$
**Ответ: 1**
---
**6) $5^{2x+1} + 4 \cdot 5^x - 1 = 0$**
Преобразуем: $5 \cdot 5^{2x} + 4 \cdot 5^x - 1 = 0$ или $5 \cdot (5^x)^2 + 4 \cdot 5^x - 1 = 0$.
Пусть $t = 5^x$, где $t > 0$.
$$5t^2 + 4t - 1 = 0$$
$D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36 = 6^2$
$t_1 = \frac{-4 + 6}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
$t_2 = \frac{-4 - 6}{2 \cdot 5} = -1$ (не подходит)
Вернёмся к замене:
$5^x = \frac{1}{5}$
$5^x = 5^{-1}$
$x = -1$
**Ответ: -1**
---
**7) $3^{2x+5} - 3^{x+2} = 2$**
Преобразуем: $3^5 \cdot 3^{2x} - 3^2 \cdot 3^x - 2 = 0$ или $243 \cdot (3^x)^2 - 9 \cdot 3^x - 2 = 0$.
Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.
$$243t^2 - 9t - 2 = 0$$
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 243 \cdot (-2) = 81 + 1944 = 2025 = 45^2$
$t_1 = \frac{9 + 45}{2 \cdot 243} = \frac{54}{486} = \frac{1}{9}$
$t_2 = \frac{9 - 45}{486} < 0$ (не подходит)
Вернёмся к замене:
$3^x = \frac{1}{9}$
$3^x = 3^{-2}$
$x = -2$
**Ответ: -2**
---
**8) $16^x - 17 \cdot 4^x + 16 = 0$**
Перепишем: $(4^x)^2 - 17 \cdot 4^x + 16 = 0$.
Пусть $t = 4^x$, где $t > 0$.
$$t^2 - 17t + 16 = 0$$
По теореме Виета: $t_1 = 16$ и $t_2 = 1$. Оба корня положительные, значит, будет два решения.
Случай 1: $t_1 = 16$
$4^x = 16$
$4^x = 4^2$
$x = 2$
Случай 2: $t_2 = 1$
$4^x = 1$
$4^x = 4^0$
$x = 0$
**Ответ: 0; 2**
