Пусть a < 0, b < 0. Доказать, что: 1) 3a + 4b < 0

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями. Всё не так сложно, как кажется! ### Задание 8 **Дано:** $a < 0$ (a — отрицательное число), $b < 0$ (b — отрицательное число). 1) $3a + 4b < 0$ * Если $a$ отрицательное, то и $3a$ будет отрицательным. * Если $b$ отрицательное, то и $4b$ будет отрицательным. * Сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна. **Вывод: $3a + 4b < 0$ — утверждение верное.** 2) $2a(a + b) > 0$ * Сначала посмотрим на скобку $(a + b)$. Мы складываем два отрицательных числа, значит, результат $(a + b)$ будет отрицательным. * Теперь умножаем $a$ (отрицательное) на $(a + b)$ (тоже отрицательное). Произведение двух отрицательных чисел всегда положительное. * И в конце умножаем на 2 (положительное число), от этого знак не изменится. **Вывод: $2a(a + b) > 0$ — утверждение верное.** ### Задание 9 **Дано:** $a > 0$ (a — положительное), $b < 0$ (b — отрицательное). 1) $a - b > 0$ * Выражение $a - b$ можно записать как $a + (-b)$. * Поскольку $b$ — отрицательное число, то $(-b)$ будет положительным. * Сумма двух положительных чисел ($a$ и $-b$) всегда положительна. **Вывод: $a - b > 0$ — утверждение верное.** 2) $b - a < 0$ * Это похоже на предыдущий пункт. Мы от отрицательного числа $b$ отнимаем положительное $a$. Результат будет ещё более отрицательным. **Вывод: $b - a < 0$ — утверждение верное.** 3) $a^2b + b^3 < 0$ * Вынесем $b$ за скобки: $b(a^2 + b^2)$. * $b$ у нас отрицательное. * В скобках $a^2$ (положительное в квадрате) — положительное, и $b^2$ (отрицательное в квадрате) — тоже положительное. Сумма двух положительных чисел $(a^2 + b^2)$ будет положительной. * Умножаем отрицательное число $b$ на положительное $(a^2 + b^2)$. Получается отрицательное число. **Вывод: $a^2b + b^3 < 0$ — утверждение верное.** 4) $ab^3 + a^3b < 0$ * Вынесем за скобки $ab$: $ab(b^2 + a^2)$. * Произведение $ab$ (положительное на отрицательное) будет отрицательным. * Сумма $(b^2 + a^2)$ будет положительной (как в прошлом пункте). * Умножаем отрицательное число $ab$ на положительное $(b^2+a^2)$. Результат будет отрицательным. **Вывод: $ab^3 + a^3b < 0$ — утверждение верное.** ### Задание 10 Здесь нужно определить знак, не считая. Вспомним правила: * Отрицательное число в чётной степени (2, 4, 6...) становится положительным. * Отрицательное число в нечётной степени (1, 3, 5...) остаётся отрицательным. 1) $(-17) \cdot (-1,281)^2$ * $(-17)$ — отрицательное. * $(-1,281)^2$ — отрицательное число в квадрате (чётная степень), значит, результат положительный. * Умножаем отрицательное на положительное. **Ответ: значение выражения отрицательное.** 2) $(-2,23)^3 \cdot (-0,54)^2$ * $(-2,23)^3$ — нечётная степень, останется отрицательным. * $(-0,54)^2$ — чётная степень, станет положительным. * Умножаем отрицательное на положительное. **Ответ: значение выражения отрицательное.** 3) $(-0,37)^3 + (-2,7)^5$ * $(-0,37)^3$ — нечётная степень, будет отрицательным. * $(-2,7)^5$ — нечётная степень, тоже будет отрицательным. * Складываем два отрицательных числа. **Ответ: значение выражения отрицательное.** 4) $(-3,21)^2 - (-45,4)^3$ * $(-3,21)^2$ — чётная степень, станет положительным. * $(-45,4)^3$ — нечётная степень, останется отрицательным. * Вычитаем отрицательное число, это то же самое, что прибавляем положительное. Получается, мы к положительному числу прибавляем ещё одно положительное. **Ответ: значение выражения положительное.** ### Задание 11 Здесь нужно доказать, что результат всегда будет одинакового знака (скорее всего, положительным) при любом значении $a$. 1) $2 - \frac{1}{a^2+1}$ * Выражение $a^2$ всегда больше или равно нулю ($a^2 \ge 0$). * Значит, знаменатель $a^2+1$ всегда больше или равен единице ($a^2+1 \ge 1$). * Поэтому дробь $\frac{1}{a^2+1}$ всегда будет в промежутке от 0 до 1. * Когда мы из двойки вычитаем число меньше единицы, результат всегда будет положительным. **Вывод: выражение всегда положительное.** 2) $a^2 + \frac{1-a^2}{1+a^2}$ * Приведём к общему знаменателю: $$a^2 + \frac{1-a^2}{1+a^2} = \frac{a^2(1+a^2) + (1-a^2)}{1+a^2} = \frac{a^2+a^4+1-a^2}{1+a^2} = \frac{a^4+1}{a^2+1}$$ * В числителе $a^4+1$ всегда положительное число. * В знаменателе $a^2+1$ тоже всегда положительное число. * Деление положительного числа на положительное даёт положительный результат. **Вывод: выражение всегда положительное.** 3) $(3a+2)^2 - 6a(a+2)$ * Раскроем скобки и упростим: $$(3a+2)^2 - 6a(a+2) = (9a^2+12a+4) - (6a^2+12a) = 9a^2+12a+4-6a^2-12a = 3a^2+4$$ * $a^2$ всегда $\ge 0$, значит $3a^2$ тоже $\ge 0$. А если прибавить 4, то результат будет всегда больше или равен 4. **Вывод: выражение всегда положительное.** 4) $(2a-3)^2 - 3a(a-\ldots)$ **Допущение:** Последняя часть выражения не видна. Предположим, что там $(2a-3)^2 - 3a(a-4)$, так как это частый тип заданий на упрощение. * Если так, то раскроем скобки: $$(2a-3)^2 - 3a(a-4) = (4a^2-12a+9) - (3a^2-12a) = 4a^2-12a+9-3a^2+12a = a^2+9$$ * $a^2$ всегда больше или равно нулю, значит $a^2+9$ всегда будет больше или равно 9. **Вывод: при нашем допущении выражение всегда положительное.**