Упрости выражение: $(\frac{2ab}{a^2-b^2} + \frac{a-b}{2a+2b}) \cdot (\frac{2a}{a+b} + \frac{b}{b-a})$

Привет! Давай вместе упростим это выражение. $$\left(\frac{2ab}{a^2-b^2} + \frac{a-b}{2a+2b}\right) \cdot \left(\frac{2a}{a+b} + \frac{b}{b-a}\right)$$ Сначала разберёмся с первой скобкой: 1. Заметим, что $a^2 - b^2$ — это разность квадратов, которую можно разложить как $(a-b)(a+b)$. 2. Во втором знаменателе $2a+2b$ можно вынести 2 за скобку: $2(a+b)$. Теперь первая скобка выглядит так: $$\frac{2ab}{(a-b)(a+b)} + \frac{a-b}{2(a+b)}$$ Чтобы сложить эти дроби, приведём их к общему знаменателю. Для этого первую дробь домножим на 2, а вторую на $(a-b)$: $$\frac{2ab \cdot 2}{(a-b)(a+b) \cdot 2} + \frac{(a-b) \cdot (a-b)}{2(a+b) \cdot (a-b)} = \frac{4ab}{2(a-b)(a+b)} + \frac{(a-b)^2}{2(a-b)(a+b)}$$ Теперь сложим числители: $$\frac{4ab + (a-b)^2}{2(a-b)(a+b)}$$ Раскроем скобки в числителе: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ (это формула квадрата разности): $$\frac{4ab + a^2 - 2ab + b^2}{2(a-b)(a+b)} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{2(a-b)(a+b)}$$ Заметим, что $a^2 + 2ab + b^2$ — это квадрат суммы, который можно записать как $(a+b)^2$: $$\frac{(a+b)^2}{2(a-b)(a+b)}$$ Теперь можно сократить $(a+b)$ в числителе и знаменателе: $$\frac{a+b}{2(a-b)}$$ Отлично, с первой скобкой разобрались! Теперь перейдём ко второй: $$\frac{2a}{a+b} + \frac{b}{b-a}$$ 1. Заметим, что $b-a = -(a-b)$. Перепишем вторую дробь, чтобы знаменатель стал похожим на первый: $$\frac{2a}{a+b} + \frac{b}{-(a-b)} = \frac{2a}{a+b} - \frac{b}{a-b}$$ 2. Приведём эти дроби к общему знаменателю $(a+b)(a-b)$. Для этого первую дробь домножим на $(a-b)$, а вторую на $(a+b)$: $$\frac{2a(a-b)}{(a+b)(a-b)} - \frac{b(a+b)}{(a-b)(a+b)}$$ 3. Вычтем числители и раскроем скобки: $$\frac{2a(a-b) - b(a+b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{2a^2 - 2ab - ab - b^2}{(a+b)(a-b)} = \frac{2a^2 - 3ab - b^2}{(a+b)(a-b)}$$ Теперь у нас есть упрощённые выражения для обеих скобок. Перемножим их: $$\frac{a+b}{2(a-b)} \cdot \frac{2a^2 - 3ab - b^2}{(a+b)(a-b)}$$ Сократим $(a+b)$ в числителе и знаменателе: $$\frac{1}{2(a-b)} \cdot \frac{2a^2 - 3ab - b^2}{a-b}$$ Перемножим оставшиеся части: $$\frac{2a^2 - 3ab - b^2}{2(a-b)^2}$$ **Ответ:** $$\frac{2a^2 - 3ab - b^2}{2(a-b)^2}$$