Сравни числа $c$ и $\sqrt{c}$ при условии, что: а) $c > 1$; Существует ли значение $c$, при котором верно равенство $c = \sqrt{c}$?

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями. **Задание 31. Сравните числа $c$ и $\sqrt{c}$ при условии, что: а) $c > 1$; Существует ли значение $c$, при котором верно равенство $c = \sqrt{c}$?** Давай представим, что $c = 4$. Тогда $\sqrt{c} = \sqrt{4} = 2$. Мы видим, что $4 > 2$, то есть $c > \sqrt{c}$. Это правило работает для всех чисел, которые больше единицы. Если $c > 1$, то $c > \sqrt{c}$. Теперь подумаем, когда $c = \sqrt{c}$. Возведём обе части равенства в квадрат: $(c)^2 = (\sqrt{c})^2$, получим $c^2 = c$. Перенесём $c$ в левую часть: $c^2 - c = 0$. Вынесем $c$ за скобки: $c(c - 1) = 0$. Это равенство будет верным, если $c = 0$ или $c - 1 = 0$, то есть $c = 1$. **Ответ:** При $c > 1$, $c > \sqrt{c}$. Равенство $c = \sqrt{c}$ верно при $c = 0$ и $c = 1$. **Задание 32. Сравните числа:** Чтобы сравнить числа с корнями, удобно внести число под корень или вынести множитель из-под корня, чтобы внутри корня были одинаковые или сравнимые числа. а) $5\sqrt{3}$ и $3\sqrt{5}$ Внесём числа под корень: $5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}$ $3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$ Так как $75 > 45$, то $\sqrt{75} > \sqrt{45}$. **Ответ: $5\sqrt{3} > 3\sqrt{5}$** б) $0,1\sqrt{4500}$ и $\sqrt{45}$ Давай упростим первое число: $0,1\sqrt{4500} = 0,1\sqrt{900 \cdot 5} = 0,1 \cdot 30 \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$ Теперь сравним $3\sqrt{5}$ и $\sqrt{45}$. Внесём 3 под корень: $3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$ Мы видим, что оба числа равны. **Ответ: $0,1\sqrt{4500} = \sqrt{45}$** в) $0,3\sqrt{10}$ и $0,1\sqrt{80}$ Внесём числа под корень: $0,3\sqrt{10} = \sqrt{(0,3)^2 \cdot 10} = \sqrt{0,09 \cdot 10} = \sqrt{0,9}$ $0,1\sqrt{80} = \sqrt{(0,1)^2 \cdot 80} = \sqrt{0,01 \cdot 80} = \sqrt{0,8}$ Так как $0,9 > 0,8$, то $\sqrt{0,9} > \sqrt{0,8}$. **Ответ: $0,3\sqrt{10} > 0,1\sqrt{80}$** г) $-4\sqrt{0,2}$ и $-\sqrt{0,7}$ Когда сравниваем отрицательные числа, помни: чем меньше число по модулю (без знака минус), тем оно больше. Сначала сравним модули, то есть положительные числа: $4\sqrt{0,2}$ и $\sqrt{0,7}$. Внесём 4 под корень: $4\sqrt{0,2} = \sqrt{4^2 \cdot 0,2} = \sqrt{16 \cdot 0,2} = \sqrt{3,2}$ Теперь сравниваем $\sqrt{3,2}$ и $\sqrt{0,7}$. Так как $3,2 > 0,7$, то $\sqrt{3,2} > \sqrt{0,7}$. Теперь вернёмся к отрицательным числам: $-4\sqrt{0,2}$ и $-\sqrt{0,7}$. Поскольку $4\sqrt{0,2}$ больше, чем $\sqrt{0,7}$, то $-4\sqrt{0,2}$ будет *меньше*, чем $-\sqrt{0,7}$. **Ответ: $-4\sqrt{0,2} < -\sqrt{0,7}$** **Задание 33. Найдите значение выражения:** а) $12\frac{2}{5} - 2\frac{2}{7} : 1\frac{19}{21}$ Сначала выполним деление. Переведём смешанные дроби в неправильные: $2\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{14 + 2}{7} = \frac{16}{7}$ $1\frac{19}{21} = \frac{1 \cdot 21 + 19}{21} = \frac{21 + 19}{21} = \frac{40}{21}$ Теперь делим: $\frac{16}{7} : \frac{40}{21} = \frac{16}{7} \cdot \frac{21}{40}$ Сократим дроби: $16$ и $40$ на $8$, $7$ и $21$ на $7$. $= \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{5}$ Теперь выполним вычитание: $12\frac{2}{5} - \frac{6}{5}$ $12\frac{2}{5} = \frac{12 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{60 + 2}{5} = \frac{62}{5}$ $\frac{62}{5} - \frac{6}{5} = \frac{62 - 6}{5} = \frac{56}{5}$ Переведём обратно в смешанную дробь: $\frac{56}{5} = 11\frac{1}{5}$ **Ответ: $11\frac{1}{5}$** б) $(12\frac{2}{5} - 2\frac{2}{7}) : 1\frac{19}{21}$ Сначала выполним вычитание в скобках. $12\frac{2}{5} - 2\frac{2}{7}$ Приведём дроби к общему знаменателю. Для $5$ и $7$ общий знаменатель $35$. $12\frac{2}{5} = 12\frac{2 \cdot 7}{5 \cdot 7} = 12\frac{14}{35}$ $2\frac{2}{7} = 2\frac{2 \cdot 5}{7 \cdot 5} = 2\frac{10}{35}$ $12\frac{14}{35} - 2\frac{10}{35} = (12 - 2) + (\frac{14}{35} - \frac{10}{35}) = 10 + \frac{4}{35} = 10\frac{4}{35}$ Теперь это число нужно разделить на $1\frac{19}{21}$. Переведём смешанные дроби в неправильные: $10\frac{4}{35} = \frac{10 \cdot 35 + 4}{35} = \frac{350 + 4}{35} = \frac{354}{35}$ $1\frac{19}{21} = \frac{1 \cdot 21 + 19}{21} = \frac{40}{21}$ (как мы уже считали в пункте а)) Теперь делим: $\frac{354}{35} : \frac{40}{21} = \frac{354}{35} \cdot \frac{21}{40}$ Сократим 354 и 40 на 2: $354 : 2 = 177$ $40 : 2 = 20$ Сократим 21 и 35 на 7: $21 : 7 = 3$ $35 : 7 = 5$ Получаем: $\frac{177}{5} \cdot \frac{3}{20} = \frac{177 \cdot 3}{5 \cdot 20} = \frac{531}{100}$ Переведём в десятичную дробь или смешанную дробь: $\frac{531}{100} = 5,31$ или $5\frac{31}{100}$ **Ответ: $5,31$ или $5\frac{31}{100}$**