Привет! Давай вместе решим эти задачки на степени. Это очень похоже на игру с числами, где у нас есть особые правила.
### 35. Найдите значение выражения:
Мы будем использовать правила работы со степенями:
* Когда умножаем степени с одинаковым основанием, показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
* Когда делим степени с одинаковым основанием, показатели вычитаются: $a^m : a^n = a^{m-n}$
* Когда степень возводится в степень, показатели умножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
* Если показатель отрицательный, то число переворачивается: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
* Любое число в нулевой степени равно 1: $a^0 = 1$
a) $7^5 \cdot (7^2)^4 : 7^{11}$
Сначала разберёмся со скобками: $(7^2)^4 = 7^{2 \cdot 4} = 7^8$. Теперь подставим это в выражение:
$7^5 \cdot 7^8 : 7^{11}$
Теперь умножаем: $7^5 \cdot 7^8 = 7^{5+8} = 7^{13}$
И делим: $7^{13} : 7^{11} = 7^{13-11} = 7^2$
$7^2 = 7 \cdot 7 = 49$
**Ответ: 49**
б) $11^{-4} : 11^{13} : 11^{17}$
Когда мы делим степени с одинаковым основанием, мы вычитаем показатели. Делаем это по порядку:
$11^{-4} : 11^{13} = 11^{-4-13} = 11^{-17}$
Теперь продолжим деление: $11^{-17} : 11^{17} = 11^{-17-17} = 11^{-34}$
**Ответ: $11^{-34}$**
в) $5^9 : 5^{-12} : 5^{20}$
Снова делим степени, вычитая показатели:
$5^9 : 5^{-12} = 5^{9 - (-12)} = 5^{9+12} = 5^{21}$
Теперь следующее деление: $5^{21} : 5^{20} = 5^{21-20} = 5^1$
$5^1 = 5$
**Ответ: 5**
г) $10 : (5^{-2})^{13} : 25^{14}$
Давай сначала разберёмся со скобками: $(5^{-2})^{13} = 5^{-2 \cdot 13} = 5^{-26}$
Теперь посмотрим на $25^{14}$. Мы знаем, что $25 = 5^2$. Значит, $25^{14} = (5^2)^{14} = 5^{2 \cdot 14} = 5^{28}$
Теперь подставим это в выражение: $10 : 5^{-26} : 5^{28}$
Мы знаем, что $10 = 2 \cdot 5$. Подставим это:
$2 \cdot 5 : 5^{-26} : 5^{28}$
Объединяем степени пятёрки: $5 : 5^{-26} : 5^{28} = 5^{1 - (-26) - 28} = 5^{1+26-28} = 5^{27-28} = 5^{-1}$
Получаем: $2 \cdot 5^{-1}$
$5^{-1} = \frac{1}{5}$
Значит, $2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5} = 0,4$
**Ответ: 0,4**
д) $\frac{15^5}{3^3 \cdot 5^4} : \frac{12^5}{3^6 \cdot 4^6}$
Сначала упростим каждую дробь отдельно.
Первая дробь: $\frac{15^5}{3^3 \cdot 5^4}$
Мы знаем, что $15 = 3 \cdot 5$. Значит, $15^5 = (3 \cdot 5)^5 = 3^5 \cdot 5^5$
Теперь дробь выглядит так: $\frac{3^5 \cdot 5^5}{3^3 \cdot 5^4}$
Сократим $3^5$ на $3^3$: $3^{5-3} = 3^2$
Сократим $5^5$ на $5^4$: $5^{5-4} = 5^1 = 5$
Первая дробь упрощается до $3^2 \cdot 5 = 9 \cdot 5 = 45$
Вторая дробь: $\frac{12^5}{3^6 \cdot 4^6}$
Мы знаем, что $12 = 3 \cdot 4$. Значит, $12^5 = (3 \cdot 4)^5 = 3^5 \cdot 4^5$
Теперь дробь выглядит так: $\frac{3^5 \cdot 4^5}{3^6 \cdot 4^6}$
Сократим $3^5$ на $3^6$: $3^{5-6} = 3^{-1}$
Сократим $4^5$ на $4^6$: $4^{5-6} = 4^{-1}$
Вторая дробь упрощается до $3^{-1} \cdot 4^{-1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$
Теперь разделим результаты: $45 : \frac{1}{12} = 45 \cdot 12$
$45 \cdot 12 = 540$
**Ответ: 540**
е) $\frac{10^{10}}{2^8 \cdot 5^9} : \frac{17^6 \cdot 8^3}{34^7}$
Сначала упростим первую дробь: $\frac{10^{10}}{2^8 \cdot 5^9}$
Мы знаем, что $10 = 2 \cdot 5$. Значит, $10^{10} = (2 \cdot 5)^{10} = 2^{10} \cdot 5^{10}$
Теперь дробь выглядит так: $\frac{2^{10} \cdot 5^{10}}{2^8 \cdot 5^9}$
Сократим $2^{10}$ на $2^8$: $2^{10-8} = 2^2$
Сократим $5^{10}$ на $5^9$: $5^{10-9} = 5^1 = 5$
Первая дробь упрощается до $2^2 \cdot 5 = 4 \cdot 5 = 20$
Теперь упростим вторую дробь: $\frac{17^6 \cdot 8^3}{34^7}$
Мы знаем, что $34 = 2 \cdot 17$. Значит, $34^7 = (2 \cdot 17)^7 = 2^7 \cdot 17^7$
Мы также знаем, что $8 = 2^3$. Значит, $8^3 = (2^3)^3 = 2^{3 \cdot 3} = 2^9$
Теперь дробь выглядит так: $\frac{17^6 \cdot 2^9}{2^7 \cdot 17^7}$
Сократим $17^6$ на $17^7$: $17^{6-7} = 17^{-1}$
Сократим $2^9$ на $2^7$: $2^{9-7} = 2^2$
Вторая дробь упрощается до $17^{-1} \cdot 2^2 = \frac{1}{17} \cdot 4 = \frac{4}{17}$
Теперь разделим результаты: $20 : \frac{4}{17} = 20 \cdot \frac{17}{4}$
$20 \cdot \frac{17}{4} = \frac{20}{1} \cdot \frac{17}{4} = \frac{20 \cdot 17}{4} = 5 \cdot 17 = 85$
**Ответ: 85**
