Сравни числовые значения выражений $\sqrt{3,9} + \sqrt{8}$ и $\sqrt{1,1} + \sqrt{17}$

Привет! Давай вместе разберемся с этими интересными выражениями! **11. Сравнить числовые значения выражений:** 1) $\sqrt{3,9} + \sqrt{8}$ и $\sqrt{1,1} + \sqrt{17}$ Давай посмотрим на квадраты этих выражений, чтобы сравнить их. Если $A > B$, то $A^2 > B^2$ для положительных чисел. $(\sqrt{3,9} + \sqrt{8})^2 = (\sqrt{3,9})^2 + 2\sqrt{3,9}\sqrt{8} + (\sqrt{8})^2 = 3,9 + 2\sqrt{31,2} + 8 = 11,9 + 2\sqrt{31,2}$ $(\sqrt{1,1} + \sqrt{17})^2 = (\sqrt{1,1})^2 + 2\sqrt{1,1}\sqrt{17} + (\sqrt{17})^2 = 1,1 + 2\sqrt{18,7} + 17 = 18,1 + 2\sqrt{18,7}$ Теперь нам нужно сравнить $11,9 + 2\sqrt{31,2}$ и $18,1 + 2\sqrt{18,7}$. Давай перенесем числа: $2\sqrt{31,2} - 2\sqrt{18,7}$ и $18,1 - 11,9$ $2(\sqrt{31,2} - \sqrt{18,7})$ и $6,2$ Разделим на 2: $\sqrt{31,2} - \sqrt{18,7}$ и $3,1$ Мы знаем, что $\sqrt{25} = 5$ и $\sqrt{36} = 6$. Значит, $\sqrt{31,2}$ находится где-то между 5 и 6, ближе к 5,5. Пусть будет примерно $5,58$. Мы знаем, что $\sqrt{16} = 4$ и $\sqrt{25} = 5$. Значит, $\sqrt{18,7}$ находится где-то между 4 и 5, ближе к 4,3. Пусть будет примерно $4,32$. Тогда $5,58 - 4,32 = 1,26$. А у нас $3,1$. Получается $1,26 < 3,1$. Это означает, что $2(\sqrt{31,2} - \sqrt{18,7}) < 6,2$. А значит, $11,9 + 2\sqrt{31,2} < 18,1 + 2\sqrt{18,7}$. **Ответ: $\sqrt{3,9} + \sqrt{8} < \sqrt{1,1} + \sqrt{17}$** 2) $\sqrt{11} - \sqrt{2,1}$ и $\sqrt{10} - \sqrt{3,1}$ Давай снова возведем в квадрат, чтобы избавиться от корней. Сначала перенесем отрицательные части, чтобы все было положительным: $\sqrt{11} + \sqrt{3,1}$ и $\sqrt{10} + \sqrt{2,1}$ Теперь возведем в квадрат: $(\sqrt{11} + \sqrt{3,1})^2 = 11 + 2\sqrt{11 \cdot 3,1} + 3,1 = 14,1 + 2\sqrt{34,1}$ $(\sqrt{10} + \sqrt{2,1})^2 = 10 + 2\sqrt{10 \cdot 2,1} + 2,1 = 12,1 + 2\sqrt{21}$ Теперь нам нужно сравнить $14,1 + 2\sqrt{34,1}$ и $12,1 + 2\sqrt{21}$. Перенесем числа: $2\sqrt{34,1} - 2\sqrt{21}$ и $12,1 - 14,1$ $2(\sqrt{34,1} - \sqrt{21})$ и $-2$ Разделим на 2: $\sqrt{34,1} - \sqrt{21}$ и $-1$ $\sqrt{34,1}$ это примерно $5,84$ $\sqrt{21}$ это примерно $4,58$ $5,84 - 4,58 = 1,26$. И у нас $-1$. Получается $1,26 > -1$. Значит, $2(\sqrt{34,1} - \sqrt{21}) > -2$. А значит, $14,1 + 2\sqrt{34,1} > 12,1 + 2\sqrt{21}$. **Ответ: $\sqrt{11} - \sqrt{2,1} > \sqrt{10} - \sqrt{3,1}$** **12. Вычислить:** 1) $\sqrt{(\sqrt{7} - 2\sqrt{10} + \sqrt{2})} \cdot 2\sqrt{5}$ Кажется, в выражении $\sqrt{7 - 2\sqrt{10}}$ пропущено сложение или вычитание. Оно должно быть вида $\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}}$, где $a = x+y$ и $b = xy$. В таком случае $\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} = |\sqrt{x} \pm \sqrt{y}|$. Если это $\sqrt{7 - 2\sqrt{10}}$, то $x+y=7$ и $xy=10$. Подходят числа 5 и 2. То есть $x=5, y=2$. Тогда $\sqrt{7 - 2\sqrt{10}} = \sqrt{5} - \sqrt{2}$. Перепишем выражение: $(\sqrt{5} - \sqrt{2} + \sqrt{2}) \cdot 2\sqrt{5}$ $(\sqrt{5}) \cdot 2\sqrt{5}$ $2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 2 \cdot 5 = 10$ **Ответ: 10** 2) $\sqrt{(\sqrt{16 - 6\sqrt{7}}} + \sqrt{7})} \cdot 3$ Давай упростим внутренний корень $\sqrt{16 - 6\sqrt{7}}$. Чтобы использовать формулу $\sqrt{a - 2\sqrt{b}}$, нам нужно вынести 3 из-под корня, чтобы получить 2: $6\sqrt{7} = 2 \cdot 3\sqrt{7} = 2 \cdot \sqrt{3^2 \cdot 7} = 2\sqrt{9 \cdot 7} = 2\sqrt{63}$ Теперь у нас есть $\sqrt{16 - 2\sqrt{63}}$. Нам нужно найти два числа, которые в сумме дают 16, а при умножении дают 63. Это 9 и 7. Значит, $\sqrt{16 - 2\sqrt{63}} = \sqrt{9} - \sqrt{7} = 3 - \sqrt{7}$. Теперь подставим это обратно в выражение: $(3 - \sqrt{7} + \sqrt{7}) \cdot 3$ $(3) \cdot 3 = 9$ **Ответ: 9** 3) $\sqrt{(\sqrt{8 + 2\sqrt{15}}} - \sqrt{8 - 2\sqrt{15}})} + 2 + 7$ Давай упростим корни по отдельности. Первый корень $\sqrt{8 + 2\sqrt{15}}$: Ищем два числа, которые в сумме дают 8, а при умножении дают 15. Это 5 и 3. Значит, $\sqrt{8 + 2\sqrt{15}} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$. Второй корень $\sqrt{8 - 2\sqrt{15}}$: Ищем два числа, которые в сумме дают 8, а при умножении дают 15. Это 5 и 3. Значит, $\sqrt{8 - 2\sqrt{15}} = \sqrt{5} - \sqrt{3}$. Теперь подставим эти упрощенные корни в исходное выражение: $(\sqrt{5} + \sqrt{3} - (\sqrt{5} - \sqrt{3})) + 2 + 7$ Раскроем скобки. Не забудь поменять знаки после минуса: $\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{5} + \sqrt{3} + 2 + 7$ Теперь сократим одинаковые слагаемые с разными знаками ($\sqrt{5}$ и $-\sqrt{5}$): $\sqrt{3} + \sqrt{3} + 2 + 7$ $2\sqrt{3} + 9$ **Ответ: $9 + 2\sqrt{3}$**