Привет! Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, нужно просто разделить числитель на знаменатель. Если при делении получается бесконечная десятичная дробь, это означает, что остаток никогда не станет нулём, и цифры после запятой будут повторяться бесконечно.
Давай посмотрим на твои примеры:
а) $\frac{1}{3}$
Чтобы перевести $\frac{1}{3}$ в десятичную дробь, разделим 1 на 3:
$$\begin{array}{c|l} 1,000 & 3 \\ \hline 9 & 0,333... \\ \hline 10 \\ 9 \\ \hline 10 \\ 9 \\ \hline 1
\end{array}$$
Мы видим, что 1 постоянно повторяется в остатке, поэтому цифра 3 после запятой будет бесконечно повторяться. Это бесконечная десятичная дробь.
б) $\frac{1}{7}$
Чтобы перевести $\frac{1}{7}$ в десятичную дробь, разделим 1 на 7:
$$\begin{array}{c|l} 1,0000000 & 7 \\ \hline 7 & 0,1428571... \\ \hline 30 \\ 28 \\ \hline 20 \\ 14 \\ \hline 60 \\ 56 \\ \hline 40 \\ 35 \\ \hline 50 \\ 49 \\ \hline 10 \\ 7 \\ \hline 3
\end{array}$$
Здесь цифры после запятой (142857) повторяются. Это тоже бесконечная десятичная дробь.
в) $3\frac{7}{11}$
Смешанную дробь $3\frac{7}{11}$ можно представить как целое число 3 и дробную часть $\frac{7}{11}$. Сначала переведём $\frac{7}{11}$ в десятичную дробь:
$$\begin{array}{c|l} 7,0000 & 11 \\ \hline 66 & 0,6363... \\ \hline 40 \\ 33 \\ \hline 70 \\ 66 \\ \hline 40 \\ 33 \\ \hline 7
\end{array}$$
Мы видим, что цифры 63 после запятой будут повторяться. Значит, $3\frac{7}{11} = 3,6363...$. Это бесконечная десятичная дробь.
г) $-\frac{8}{15}$
Здесь у нас отрицательное число. Сначала переведём $\frac{8}{15}$ в десятичную дробь:
$$\begin{array}{c|l} 8,000 & 15 \\ \hline 75 & 0,533... \\ \hline 50 \\ 45 \\ \hline 50 \\ 45 \\ \hline 5
\end{array}$$
Цифра 3 после запятой будет повторяться. Значит, $-\frac{8}{15} = -0,533...$. Это бесконечная десятичная дробь.
д) $10,28$
Это уже десятичная дробь, которая является конечной. Она не бесконечная.
е) $\frac{3}{16}$
Переведём $\frac{3}{16}$ в десятичную дробь:
$$\begin{array}{c|l} 3,0000 & 16 \\ \hline 16 & 0,1875 \\ \hline 140 \\ 128 \\ \hline 120 \\ 112 \\ \hline 80 \\ 80 \\ \hline 0
\end{array}$$
Здесь остаток стал равен 0, поэтому это конечная десятичная дробь. Она не бесконечная.
ж) $-17$
Это целое число, которое можно записать как десятичную дробь с нулём после запятой: $-17,0$. Это конечная десятичная дробь, не бесконечная.
з) $-1\frac{3}{40}$
Смешанная дробь $-1\frac{3}{40}$ — это $- (1 + \frac{3}{40})$. Сначала переведём $\frac{3}{40}$ в десятичную дробь:
$$\begin{array}{c|l} 3,000 & 40 \\ \hline 0 & 0,075 \\ \hline 300 \\ 280 \\ \hline 200 \\ 200 \\ \hline 0
\end{array}$$
Здесь остаток стал 0. Значит, $\frac{3}{40} = 0,075$. Тогда $-1\frac{3}{40} = -1,075$. Это конечная десятичная дробь, не бесконечная.
и) $-\frac{20}{9}$
Отрицательное число. Переведём $\frac{20}{9}$ в десятичную дробь:
$$\begin{array}{c|l} 20,000 & 9 \\ \hline 18 & 2,222... \\ \hline 20 \\ 18 \\ \hline 20 \\ 18 \\ \hline 2
\end{array}$$
Цифра 2 после запятой повторяется. Значит, $-\frac{20}{9} = -2,222...$. Это бесконечная десятичная дробь.
к) $\frac{5}{6}$
Переведём $\frac{5}{6}$ в десятичную дробь:
$$\begin{array}{c|l} 5,000 & 6 \\ \hline 48 & 0,833... \\ \hline 20 \\ 18 \\ \hline 20 \\ 18 \\ \hline 2
\end{array}$$
Цифра 3 после запятой повторяется. Значит, $\frac{5}{6} = 0,833...$. Это бесконечная десятичная дробь.
**Итог: Бесконечные десятичные дроби получились из примеров а), б), в), г), и), к).**
