Реши тригонометрическое уравнение 2cos^2 x + 2cos x + sin^2 x = 0

Привет! Давай решим это уравнение вместе. Нам нужно решить тригонометрическое уравнение: $$2\cos^2 x + 2\cos x + \sin^2 x = 0$$ Смотри, у нас есть $\cos^2 x$ и $\sin^2 x$. Мы знаем одно очень важное тригонометрическое тождество: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Это значит, что мы можем заменить $\sin^2 x$ на $1 - \cos^2 x$. Давай так и сделаем! 1. Заменим $\sin^2 x$ на $1 - \cos^2 x$: $$2\cos^2 x + 2\cos x + (1 - \cos^2 x) = 0$$ 2. Теперь давай упростим это выражение. Сложим похожие слагаемые (те, что с $\cos^2 x$): $$2\cos^2 x - \cos^2 x + 2\cos x + 1 = 0$$ $$\cos^2 x + 2\cos x + 1 = 0$$ 3. Посмотри внимательно на это выражение: $\cos^2 x + 2\cos x + 1$. Оно тебе ничего не напоминает? Это же формула квадрата суммы! $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь роль $a$ играет $\cos x$, а роль $b$ играет $1$. Значит, мы можем записать: $$(\cos x + 1)^2 = 0$$ 4. Теперь, чтобы квадрат выражения был равен нулю, само выражение должно быть равно нулю: $$\cos x + 1 = 0$$ $$\cos x = -1$$ 5. А теперь вспоминаем, при каких значениях угла $x$ косинус равен $-1$. Это происходит, когда $x$ равен $\pi$ (или $180$ градусам) и каждому полному кругу после этого. То есть, $\pi, 3\pi, 5\pi$ и так далее, а также $-\pi, -3\pi$ и так далее. Мы можем записать это как: $$x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ Здесь $n$ — это любое целое число (может быть $0, 1, 2, -1, -2$ и т.д.). Оно показывает, сколько полных кругов мы сделали от начальной точки. **Ответ:** $x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$