Упрости выражение: (a-1)/(a+1) - (a+1)/(a-1) + 2a/(1-a^2)

Привет! Давай вместе разберёмся с этими задачками. ### №1. Упростить выражение: 1. Упростим первое выражение: Сначала поработаем с тем, что в скобках. Нам нужно привести дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $(a+1)(a-1)$, что равно $a^2-1$. $$ \left(\frac{a-1}{a+1} - \frac{a+1}{a-1}\right) + \frac{2a}{1-a^2} = \left(\frac{(a-1)(a-1)}{(a+1)(a-1)} - \frac{(a+1)(a+1)}{(a-1)(a+1)}\right) + \frac{2a}{1-a^2} $$ Теперь раскроем скобки в числителях: $(a-1)^2 = a^2 - 2a + 1$ и $(a+1)^2 = a^2 + 2a + 1$. $$ \frac{(a^2 - 2a + 1) - (a^2 + 2a + 1)}{a^2 - 1} + \frac{2a}{1-a^2} $$ Раскроем скобки в числителе: $a^2 - 2a + 1 - a^2 - 2a - 1 = -4a$. Значит, выражение в скобках равно: $$ \frac{-4a}{a^2 - 1} $$ Теперь подставим это обратно в исходное выражение. Заметим, что $1-a^2 = -(a^2-1)$. $$ \frac{-4a}{a^2 - 1} + \frac{2a}{-(a^2 - 1)} = \frac{-4a}{a^2 - 1} - \frac{2a}{a^2 - 1} $$ Теперь у нас одинаковые знаменатели, можно просто вычесть числители: $$ \frac{-4a - 2a}{a^2 - 1} = \frac{-6a}{a^2 - 1} $$ **Ответ: $\frac{-6a}{a^2 - 1}$** 2. Упростим второе выражение: $$ \frac{a}{a-4} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2} $$ Помни, что $a$ можно представить как $(\sqrt{a})^2$, а $4$ как $2^2$. Тогда знаменатель $a-4$ это разность квадратов $(\sqrt{a})^2 - 2^2 = (\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)$. Теперь подставим это в первую дробь: $$ \frac{a}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2} $$ Приведём дроби к общему знаменателю $(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)$. Для этого вторую дробь умножим на $(\sqrt{a}+2)$ сверху и снизу. $$ \frac{a}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)} - \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+2)}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)} $$ Теперь у нас одинаковые знаменатели, можно вычесть числители: $$ \frac{a - (\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} + \sqrt{a} \cdot 2)}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)} = \frac{a - (a + 2\sqrt{a})}{a-4} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ \frac{a - a - 2\sqrt{a}}{a-4} = \frac{-2\sqrt{a}}{a-4} $$ **Ответ: $\frac{-2\sqrt{a}}{a-4}$** ### №2. Решить уравнения: Решим уравнение $(6x-5)^2 + (3x-2)(3x+2) = 36$ Сначала раскроем скобки. Помни формулы сокращённого умножения: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$ $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$ Применим их: $(6x-5)^2 = (6x)^2 - 2 \cdot 6x \cdot 5 + 5^2 = 36x^2 - 60x + 25$ $(3x-2)(3x+2) = (3x)^2 - 2^2 = 9x^2 - 4$ Теперь подставим это в уравнение: $$ (36x^2 - 60x + 25) + (9x^2 - 4) = 36 $$ Раскроем скобки и соберём подобные слагаемые: $$ 36x^2 - 60x + 25 + 9x^2 - 4 = 36 $$ $$ (36x^2 + 9x^2) - 60x + (25 - 4) = 36 $$ $$ 45x^2 - 60x + 21 = 36 $$ Перенесём 36 в левую часть уравнения, чтобы справа остался 0: $$ 45x^2 - 60x + 21 - 36 = 0 $$ $$ 45x^2 - 60x - 15 = 0 $$ Теперь мы видим, что все коэффициенты делятся на 15. Давай разделим всё уравнение на 15, чтобы числа были поменьше: $$ \frac{45x^2}{15} - \frac{60x}{15} - \frac{15}{15} = \frac{0}{15} $$ $$ 3x^2 - 4x - 1 = 0 $$ Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта. $a=3$, $b=-4$, $c=-1$ Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$ $$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 16 - (-12) = 16 + 12 = 28 $$ Дискриминант $D = 28$. Он больше нуля, значит, у нас будет два корня. Формула для корней квадратного уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ $$ x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{28}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + \sqrt{28}}{6} $$ Мы можем упростить $\sqrt{28}$ как $\sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$. $$ x_1 = \frac{4 + 2\sqrt{7}}{6} = \frac{2(2 + \sqrt{7})}{6} = \frac{2 + \sqrt{7}}{3} $$ $$ x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{28}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - \sqrt{28}}{6} $$ $$ x_2 = \frac{4 - 2\sqrt{7}}{6} = \frac{2(2 - \sqrt{7})}{6} = \frac{2 - \sqrt{7}}{3} $$ **Ответ: $x_1 = \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$, $x_2 = \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$** ### №3. Решить систему неравенств: У нас есть система неравенств: $$ \begin{cases} (y+6)(5-y) + y(y-1) > 0 \\ 0,3y(10y + 20) - 3y^2 + 30 > 0 \end{cases} $$ Давай решать каждое неравенство по очереди. **Первое неравенство:** $(y+6)(5-y) + y(y-1) > 0$ Сначала раскроем скобки: $(y+6)(5-y) = 5y - y^2 + 30 - 6y = -y^2 - y + 30$ $y(y-1) = y^2 - y$ Теперь подставим это обратно в неравенство: $(-y^2 - y + 30) + (y^2 - y) > 0$ Соберём подобные слагаемые: $-y^2 + y^2 - y - y + 30 > 0$ $0y^2 - 2y + 30 > 0$ $-2y + 30 > 0$ Перенесём 30 в правую часть: $-2y > -30$ Разделим обе части на -2. Помни, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $y < \frac{-30}{-2}$ $y < 15$ **Второе неравенство:** $0,3y(10y + 20) - 3y^2 + 30 > 0$ Сначала раскроем скобки: $0,3y \cdot 10y + 0,3y \cdot 20 - 3y^2 + 30 > 0$ $3y^2 + 6y - 3y^2 + 30 > 0$ Соберём подобные слагаемые: $3y^2 - 3y^2 + 6y + 30 > 0$ $0y^2 + 6y + 30 > 0$ $6y + 30 > 0$ Перенесём 30 в правую часть: $6y > -30$ Разделим обе части на 6: $y > \frac{-30}{6}$ $y > -5$ Теперь у нас есть два неравенства: $y < 15$ и $y > -5$. Чтобы найти решение системы, нам нужно найти те значения $y$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно. Это значит, $y$ должно быть больше -5 и меньше 15. На числовой прямой это выглядит так: $$ ---\text{)}----(-5)-----(15)----\text{(}---> y $$ То есть, $y$ находится между -5 и 15, не включая сами числа -5 и 15. Записывается это как интервал $(-5; 15)$. **Ответ: $y \in (-5; 15)$** ### №4. Катер проплывает 4 км против течения реки и 15 км по течению за то же время, которое требуется плоту, чтобы проплыть 2 км по этой реке. Найти скорость течения, если собственная скорость катера 18 км/ч Давай разбираться с этой задачкой про катер, плот и реку. Обозначим: * $V_{\text{собст}}$ — собственная скорость катера (дано: 18 км/ч) * $V_{\text{теч}}$ — скорость течения реки (это то, что нам нужно найти, обозначим её как $x$ км/ч) Теперь подумаем о скоростях движения: * Скорость катера по течению: $V_{\text{по теч}} = V_{\text{собст}} + V_{\text{теч}} = (18 + x)$ км/ч * Скорость катера против течения: $V_{\text{прот теч}} = V_{\text{собст}} - V_{\text{теч}} = (18 - x)$ км/ч * Скорость плота: Плот плывет только за счёт течения, поэтому его скорость равна скорости течения: $V_{\text{плота}} = V_{\text{теч}} = x$ км/ч Формула для времени: $t = \frac{S}{V}$, где $S$ — расстояние, $V$ — скорость. **Время, которое тратит катер:** * Время катера против течения (4 км): $t_{\text{прот теч}} = \frac{4}{18 - x}$ часов * Время катера по течению (15 км): $t_{\text{по теч}} = \frac{15}{18 + x}$ часов Общее время, которое катер тратит на оба участка: $t_{\text{катера}} = t_{\text{прот теч}} + t_{\text{по теч}} = \frac{4}{18 - x} + \frac{15}{18 + x}$ **Время, которое тратит плот:** * Время плота (2 км): $t_{\text{плота}} = \frac{2}{x}$ часов По условию задачи, время катера равно времени плота: $t_{\text{катера}} = t_{\text{плота}}$ Составим уравнение: $$ \frac{4}{18 - x} + \frac{15}{18 + x} = \frac{2}{x} $$ Теперь будем решать это уравнение. Сначала найдём общий знаменатель для левой части: $$ \frac{4(18 + x) + 15(18 - x)}{(18 - x)(18 + x)} = \frac{2}{x} $$ Раскроем скобки в числителе и знаменателе: Числитель: $4 \cdot 18 + 4x + 15 \cdot 18 - 15x = 72 + 4x + 270 - 15x = 342 - 11x$ Знаменатель: $(18 - x)(18 + x) = 18^2 - x^2 = 324 - x^2$ Итак, наше уравнение теперь такое: $$ \frac{342 - 11x}{324 - x^2} = \frac{2}{x} $$ Теперь умножим крест-накрест (по правилу пропорции $a/b = c/d \Rightarrow ad = bc$): $x(342 - 11x) = 2(324 - x^2)$ Раскроем скобки: $342x - 11x^2 = 648 - 2x^2$ Перенесём все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $342x - 11x^2 - 648 + 2x^2 = 0$ Соберём подобные слагаемые и упорядочим: $(-11x^2 + 2x^2) + 342x - 648 = 0$ $-9x^2 + 342x - 648 = 0$ Умножим всё на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным: $9x^2 - 342x + 648 = 0$ Мы можем упростить это уравнение, разделив все коэффициенты на 9: $$ \frac{9x^2}{9} - \frac{342x}{9} + \frac{648}{9} = \frac{0}{9} $$ $$ x^2 - 38x + 72 = 0 $$ Теперь решим это квадратное уравнение. Можем использовать дискриминант или теорему Виета. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac$ $D = (-38)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 = 1444 - 288 = 1156$ Найдём $\sqrt{D}$: $\sqrt{1156} = 34$ Теперь найдём корни: $x_1 = \frac{-(-38) + 34}{2 \cdot 1} = \frac{38 + 34}{2} = \frac{72}{2} = 36$ $x_2 = \frac{-(-38) - 34}{2 \cdot 1} = \frac{38 - 34}{2} = \frac{4}{2} = 2$ У нас получилось два значения для скорости течения: 36 км/ч и 2 км/ч. Давай подумаем, какое из них подходит. Скорость течения $x$ не может быть больше собственной скорости катера $18$ км/ч, потому что тогда катер не смог бы плыть против течения ($18 - x$ должно быть больше нуля). Если $x = 36$ км/ч, то $18 - 36 = -18$, что невозможно. Значит, 36 км/ч не подходит. Если $x = 2$ км/ч, то: * Скорость катера против течения: $18 - 2 = 16$ км/ч (это возможно) * Скорость катера по течению: $18 + 2 = 20$ км/ч Это значение подходит. **Ответ: Скорость течения реки 2 км/ч**