Найди значение выражения $\frac{0,9}{1+\frac{1}{8}}$

Привет! Давай вместе решим эти примеры. **2. Найдите значение выражения** $\frac{0,9}{1+\frac{1}{8}}$ Сначала упростим знаменатель: $1 + \frac{1}{8}$. Чтобы сложить целое число и дробь, представим 1 как $\frac{8}{8}$: $$1 + \frac{1}{8} = \frac{8}{8} + \frac{1}{8} = \frac{8+1}{8} = \frac{9}{8}$$ Теперь подставим это в наше выражение. У нас получится дробь, в числителе которой десятичная дробь, а в знаменателе обыкновенная. Давай переведем 0,9 в обыкновенную дробь: $0,9 = \frac{9}{10}$. Теперь выражение выглядит так: $$\frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{8}}$$ Чтобы разделить одну дробь на другую, мы умножаем первую дробь на перевёрнутую вторую: $$\frac{9}{10} \div \frac{9}{8} = \frac{9}{10} \times \frac{8}{9}$$ Теперь можно сократить 9 в числителе и знаменателе: $$\frac{\cancel{9}}{10} \times \frac{8}{\cancel{9}} = \frac{8}{10}$$ И сокращаем дробь на 2: $$\frac{8}{10} = \frac{4}{5}$$ Если хочешь, можно перевести обратно в десятичную дробь: $\frac{4}{5} = 0,8$. **Ответ: 0,8** **3. Найдите значение выражения** $(\frac{18}{25} - \frac{9}{11}) : \frac{6}{11}$ Сначала выполним вычитание в скобках. Для этого приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 25 и 11 — это $25 \times 11 = 275$. $$ \frac{18}{25} - \frac{9}{11} = \frac{18 \times 11}{25 \times 11} - \frac{9 \times 25}{11 \times 25} = \frac{198}{275} - \frac{225}{275} $$ Теперь вычтем числители: $$\frac{198 - 225}{275} = \frac{-27}{275}$$ Теперь разделим полученную дробь на $\frac{6}{11}$. Чтобы разделить, умножаем на перевёрнутую дробь: $$\frac{-27}{275} : \frac{6}{11} = \frac{-27}{275} \times \frac{11}{6}$$ Давай сократим дроби. 27 и 6 делятся на 3 ($27 \div 3 = 9$, $6 \div 3 = 2$). 275 и 11 делятся на 11 ($275 \div 11 = 25$, $11 \div 11 = 1$). $$\frac{-9}{25} \times \frac{1}{2} = \frac{-9 \times 1}{25 \times 2} = \frac{-9}{50}$$ **Ответ: $\frac{-9}{50}$** **4. Найдите значение выражения** $\sqrt{a^2 + 12ab + 36b^2}$ при $a=7$ и $b=-3$. Посмотри внимательно на выражение под корнем: $a^2 + 12ab + 36b^2$. Это очень похоже на формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Если мы представим $x = a$ и $y = 6b$, то $(a + 6b)^2 = a^2 + 2 \times a \times 6b + (6b)^2 = a^2 + 12ab + 36b^2$. Здорово, правда? Значит, наше выражение можно переписать так: $$\sqrt{(a+6b)^2}$$ А корень из квадрата числа равен модулю этого числа (потому что результат всегда должен быть неотрицательным): $\sqrt{x^2} = |x|$. Так что получаем: $$|a+6b|$$ Теперь подставим значения $a=7$ и $b=-3$: $$|7 + 6 \times (-3)|$$ Сначала умножим: $6 \times (-3) = -18$. $$|7 - 18|$$ Теперь вычтем: $$|-11|$$ Модуль числа -11 равен 11. **Ответ: 11** **5. Найдите значение выражения** $-16ab + 8(a+b)^2$ при $a=\sqrt{14}$ и $b=\sqrt{5}$. Сначала раскроем скобки в выражении $8(a+b)^2$. Мы уже знаем, что $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Значит, $8(a+b)^2 = 8(a^2 + 2ab + b^2) = 8a^2 + 16ab + 8b^2$. Теперь подставим это обратно в исходное выражение: $$-16ab + (8a^2 + 16ab + 8b^2)$$ Обрати внимание, у нас есть $-16ab$ и $+16ab$. Они взаимно уничтожаются, то есть их сумма равна нулю: $$-16ab + 16ab + 8a^2 + 8b^2 = 8a^2 + 8b^2$$ Можно вынести 8 за скобки: $$8(a^2 + b^2)$$ Теперь подставим значения $a=\sqrt{14}$ и $b=\sqrt{5}$: $$8((\sqrt{14})^2 + (\sqrt{5})^2)$$ Помнишь, что $(\sqrt{x})^2 = x$ (если $x \ge 0$)? Так что $(\sqrt{14})^2 = 14$ и $(\sqrt{5})^2 = 5$. $$8(14 + 5)$$ Сложим числа в скобках: $$8(19)$$ И умножим: $$8 \times 19 = 152$$ **Ответ: 152**