Реши уравнение 0,3х(х + 13) - 2х(0,9 - 0,2х) = 0

Привет! Давай разберем эти уравнения по очереди. Нам нужно найти такое число `х`, чтобы уравнение было верным. **а) 0,3х(х + 13) - 2х(0,9 - 0,2х) = 0** Сначала раскроем скобки. Для этого умножим число перед скобкой на каждое число внутри скобки: $$0,3x \cdot x + 0,3x \cdot 13 - 2x \cdot 0,9 - 2x \cdot (-0,2x) = 0$$ $$0,3x^2 + 3,9x - 1,8x + 0,4x^2 = 0$$ Теперь сложим похожие части (те, что с $x^2$ и те, что с $x$): $$(0,3x^2 + 0,4x^2) + (3,9x - 1,8x) = 0$$ $$0,7x^2 + 2,1x = 0$$ Мы получили квадратное уравнение. Его можно решить, вынеся общий множитель $x$ за скобки: $$x(0,7x + 2,1) = 0$$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, у нас есть два варианта: 1. $$x = 0$$ 2. $$0,7x + 2,1 = 0$$ Решим второе уравнение: $$0,7x = -2,1$$ $$x = \frac{-2,1}{0,7}$$ $$x = -3$$ **Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -3$** **б) 1,5х(х + 4) - х(7 - 0,3х) = 0,5(10 - 2х)** Снова сначала раскроем скобки: $$1,5x \cdot x + 1,5x \cdot 4 - x \cdot 7 - x \cdot (-0,3x) = 0,5 \cdot 10 - 0,5 \cdot 2x$$ $$1,5x^2 + 6x - 7x + 0,3x^2 = 5 - x$$ Соберем похожие слагаемые в левой части: $$(1,5x^2 + 0,3x^2) + (6x - 7x) = 5 - x$$ $$1,8x^2 - x = 5 - x$$ Теперь перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую. Не забудь менять знак, когда переносишь через знак равно: $$1,8x^2 - x + x = 5$$ $$-x + x$$ сокращаются (это будет 0): $$1,8x^2 = 5$$ Чтобы найти $x^2$, разделим 5 на 1,8: $$x^2 = \frac{5}{1,8}$$ $$x^2 = \frac{50}{18}$$ $$x^2 = \frac{25}{9}$$ Чтобы найти $x$, нужно извлечь квадратный корень из \(\frac{25}{9}\). Помни, что квадратный корень может быть как положительным, так и отрицательным: $$x = \pm\sqrt{\frac{25}{9}}$$ $$x = \pm\frac{5}{3}$$ **Ответ: $x_1 = \frac{5}{3}, x_2 = -\frac{5}{3}$** **в) $\frac{(2x+1)^2}{25} - \frac{x-1}{3} = x$** Это уравнение с дробями. Для начала раскроем скобки в числителе первой дроби, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$(2x+1)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1$$ Теперь наше уравнение выглядит так: $$\frac{4x^2 + 4x + 1}{25} - \frac{x-1}{3} = x$$ Чтобы убрать дроби, нам нужно найти общий знаменатель для 25 и 3. Это число $25 \cdot 3 = 75$. Умножим все части уравнения на 75: $$75 \cdot \frac{4x^2 + 4x + 1}{25} - 75 \cdot \frac{x-1}{3} = 75 \cdot x$$ $$3(4x^2 + 4x + 1) - 25(x-1) = 75x$$ Раскроем скобки: $$12x^2 + 12x + 3 - 25x + 25 = 75x$$ Соберем похожие слагаемые в левой части: $$12x^2 + (12x - 25x) + (3 + 25) = 75x$$ $$12x^2 - 13x + 28 = 75x$$ Перенесем $75x$ из правой части в левую, поменяв знак: $$12x^2 - 13x - 75x + 28 = 0$$ $$12x^2 - 88x + 28 = 0$$ Это квадратное уравнение. Можем упростить его, разделив все части на 4: $$3x^2 - 22x + 7 = 0$$ Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a=3$, $b=-22$, $c=7$. $$D = (-22)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7$$ $$D = 484 - 84$$ $$D = 400$$ Теперь найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-(-22) + \sqrt{400}}{2 \cdot 3} = \frac{22 + 20}{6} = \frac{42}{6} = 7$$ $$x_2 = \frac{-(-22) - \sqrt{400}}{2 \cdot 3} = \frac{22 - 20}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ **Ответ: $x_1 = 7, x_2 = \frac{1}{3}$** **г) $\frac{(2-x)^2}{3} - 2x = \frac{(7+2x)^2}{5}$** Сначала раскроем скобки в числителях. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$(2-x)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot x + x^2 = 4 - 4x + x^2$$ $$(7+2x)^2 = 7^2 + 2 \cdot 7 \cdot 2x + (2x)^2 = 49 + 28x + 4x^2$$ Теперь наше уравнение выглядит так: $$\frac{4 - 4x + x^2}{3} - 2x = \frac{49 + 28x + 4x^2}{5}$$ Общий знаменатель для 3 и 5 — это $3 \cdot 5 = 15$. Умножим все части уравнения на 15: $$15 \cdot \frac{4 - 4x + x^2}{3} - 15 \cdot 2x = 15 \cdot \frac{49 + 28x + 4x^2}{5}$$ $$5(4 - 4x + x^2) - 30x = 3(49 + 28x + 4x^2)$$ Раскроем скобки: $$20 - 20x + 5x^2 - 30x = 147 + 84x + 12x^2$$ Соберем похожие слагаемые в левой части: $$5x^2 + (-20x - 30x) + 20 = 147 + 84x + 12x^2$$ $$5x^2 - 50x + 20 = 147 + 84x + 12x^2$$ Перенесем все слагаемые в одну сторону, например, в правую, чтобы при $x^2$ был положительный коэффициент. Не забудь поменять знаки: $$0 = 12x^2 - 5x^2 + 84x + 50x + 147 - 20$$ $$0 = 7x^2 + 134x + 127$$ Или, записав наоборот: $$7x^2 + 134x + 127 = 0$$ Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Здесь $a=7$, $b=134$, $c=127$. $$D = 134^2 - 4 \cdot 7 \cdot 127$$ $$D = 17956 - 3556$$ $$D = 14400$$ Теперь найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-134 + \sqrt{14400}}{2 \cdot 7} = \frac{-134 + 120}{14} = \frac{-14}{14} = -1$$ $$x_2 = \frac{-134 - \sqrt{14400}}{2 \cdot 7} = \frac{-134 - 120}{14} = \frac{-254}{14} = -\frac{127}{7}$$ **Ответ: $x_1 = -1, x_2 = -\frac{127}{7}$** **д) $\frac{(3x+2)^2}{11} - \frac{x+5}{4} = x^2$** Раскроем скобки в числителе первой дроби, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$(3x+2)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 + 12x + 4$$ Теперь наше уравнение выглядит так: $$\frac{9x^2 + 12x + 4}{11} - \frac{x+5}{4} = x^2$$ Общий знаменатель для 11 и 4 — это $11 \cdot 4 = 44$. Умножим все части уравнения на 44: $$44 \cdot \frac{9x^2 + 12x + 4}{11} - 44 \cdot \frac{x+5}{4} = 44 \cdot x^2$$ $$4(9x^2 + 12x + 4) - 11(x+5) = 44x^2$$ Раскроем скобки: $$36x^2 + 48x + 16 - 11x - 55 = 44x^2$$ Соберем похожие слагаемые в левой части: $$36x^2 + (48x - 11x) + (16 - 55) = 44x^2$$ $$36x^2 + 37x - 39 = 44x^2$$ Перенесем все слагаемые в одну сторону, например, в правую, чтобы при $x^2$ был положительный коэффициент: $$0 = 44x^2 - 36x^2 - 37x + 39$$ $$0 = 8x^2 - 37x + 39$$ Или, записав наоборот: $$8x^2 - 37x + 39 = 0$$ Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Здесь $a=8$, $b=-37$, $c=39$. $$D = (-37)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 39$$ $$D = 1369 - 1248$$ $$D = 121$$ Теперь найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-(-37) + \sqrt{121}}{2 \cdot 8} = \frac{37 + 11}{16} = \frac{48}{16} = 3$$ $$x_2 = \frac{-(-37) - \sqrt{121}}{2 \cdot 8} = \frac{37 - 11}{16} = \frac{26}{16} = \frac{13}{8}$$ **Ответ: $x_1 = 3, x_2 = \frac{13}{8}$** **е) $\frac{(6-x)^2}{8} + x = 7 - \frac{(2x-1)^2}{3}$** Сначала раскроем скобки в числителях. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$(6-x)^2 = 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot x + x^2 = 36 - 12x + x^2$$ $$(2x-1)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1$$ Теперь наше уравнение выглядит так: $$\frac{36 - 12x + x^2}{8} + x = 7 - \frac{4x^2 - 4x + 1}{3}$$ Общий знаменатель для 8 и 3 — это $8 \cdot 3 = 24$. Умножим все части уравнения на 24: $$24 \cdot \frac{36 - 12x + x^2}{8} + 24 \cdot x = 24 \cdot 7 - 24 \cdot \frac{4x^2 - 4x + 1}{3}$$ $$3(36 - 12x + x^2) + 24x = 168 - 8(4x^2 - 4x + 1)$$ Раскроем скобки: $$108 - 36x + 3x^2 + 24x = 168 - 32x^2 + 32x - 8$$ Соберем похожие слагаемые в каждой стороне уравнения: $$3x^2 + (-36x + 24x) + 108 = 168 - 8 - 32x^2 + 32x$$ $$3x^2 - 12x + 108 = 160 - 32x^2 + 32x$$ Перенесем все слагаемые в левую часть, поменяв знаки: $$3x^2 + 32x^2 - 12x - 32x + 108 - 160 = 0$$ $$(3x^2 + 32x^2) + (-12x - 32x) + (108 - 160) = 0$$ $$35x^2 - 44x - 52 = 0$$ Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Здесь $a=35$, $b=-44$, $c=-52$. $$D = (-44)^2 - 4 \cdot 35 \cdot (-52)$$ $$D = 1936 + 7280$$ $$D = 9216$$ Теперь найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-(-44) + \sqrt{9216}}{2 \cdot 35} = \frac{44 + 96}{70} = \frac{140}{70} = 2$$ $$x_2 = \frac{-(-44) - \sqrt{9216}}{2 \cdot 35} = \frac{44 - 96}{70} = \frac{-52}{70} = -\frac{26}{35}$$ **Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -\frac{26}{35}$**