Найди значение числового выражения: 1/120 + 4/15

Привет! Давай вместе решим эти примеры по порядку. ### 1. Найдите значение числового выражения: **а)** $\frac{1}{120} + \frac{4}{15}$ Чтобы сложить дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 120 и 15 будет 120. Для этого вторую дробь умножим на 8 сверху и снизу: $$ \frac{1}{120} + \frac{4 \cdot 8}{15 \cdot 8} = \frac{1}{120} + \frac{32}{120} = \frac{1 + 32}{120} = \frac{33}{120} $$ Теперь можно сократить дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: $$ \frac{33 \div 3}{120 \div 3} = \frac{11}{40} $$ **Ответ: $\frac{11}{40}$** **б)** $5 \frac{3}{8} + 4 \frac{5}{6}$ Сначала сложим целые части, а потом дробные. Чтобы сложить дробные части, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 8 и 6 будет 24: $$ 5 + 4 + \left( \frac{3}{8} + \frac{5}{6} \right) = 9 + \left( \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} \right) = 9 + \left( \frac{9}{24} + \frac{20}{24} \right) = 9 + \frac{29}{24} $$ Дробь $\frac{29}{24}$ неправильная, выделим из неё целую часть: $\frac{29}{24} = 1 \frac{5}{24}$. Теперь сложим с 9: $$ 9 + 1 \frac{5}{24} = 10 \frac{5}{24} $$ **Ответ: $10 \frac{5}{24}$** **в)** $5 - 1 \frac{2}{9}$ Сначала представим 5 как смешанную дробь со знаменателем 9: $5 = 4 \frac{9}{9}$. Теперь вычтем: $$ 4 \frac{9}{9} - 1 \frac{2}{9} = (4 - 1) + \left( \frac{9}{9} - \frac{2}{9} \right) = 3 + \frac{7}{9} = 3 \frac{7}{9} $$ **Ответ: $3 \frac{7}{9}$** **г)** $7 - \left( 1 \frac{2}{9} + 2 \frac{3}{5} \right)$ Сначала выполним действие в скобках. Сложим целые части и дробные. Общий знаменатель для 9 и 5 будет 45: $$ 1 \frac{2}{9} + 2 \frac{3}{5} = (1 + 2) + \left( \frac{2}{9} + \frac{3}{5} \right) = 3 + \left( \frac{2 \cdot 5}{9 \cdot 5} + \frac{3 \cdot 9}{5 \cdot 9} \right) = 3 + \left( \frac{10}{45} + \frac{27}{45} \right) = 3 + \frac{37}{45} = 3 \frac{37}{45} $$ Теперь вычтем полученное из 7. Представим 7 как смешанную дробь: $7 = 6 \frac{45}{45}$. $$ 6 \frac{45}{45} - 3 \frac{37}{45} = (6 - 3) + \left( \frac{45}{45} - \frac{37}{45} \right) = 3 + \frac{8}{45} = 3 \frac{8}{45} $$ **Ответ: $3 \frac{8}{45}$** **д)** $\frac{8}{35} \cdot \frac{49}{64}$ При умножении дробей можно сокращать числители и знаменатели. Разделим 8 и 64 на 8. Разделим 35 и 49 на 7: $$ \frac{8 \div 8}{35 \div 7} \cdot \frac{49 \div 7}{64 \div 8} = \frac{1}{5} \cdot \frac{7}{8} = \frac{1 \cdot 7}{5 \cdot 8} = \frac{7}{40} $$ **Ответ: $\frac{7}{40}$** **е)** $10 \frac{4}{5} \cdot 4 \frac{3}{8}$ Сначала переведём смешанные дроби в неправильные: $10 \frac{4}{5} = \frac{10 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{54}{5}$ $4 \frac{3}{8} = \frac{4 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{35}{8}$ Теперь умножим дроби, сократив 5 и 35 на 5, а 54 и 8 на 2: $$ \frac{54}{5} \cdot \frac{35}{8} = \frac{54 \div 2}{5 \div 5} \cdot \frac{35 \div 5}{8 \div 2} = \frac{27}{1} \cdot \frac{7}{4} = \frac{27 \cdot 7}{1 \cdot 4} = \frac{189}{4} $$ Выделим целую часть из неправильной дроби: $$ \frac{189}{4} = 47 \frac{1}{4} $$ **Ответ: $47 \frac{1}{4}$** **ж)** $\frac{15}{22} : \frac{10}{77}$ Чтобы разделить дроби, нужно первую дробь умножить на перевёрнутую вторую. Сократим 15 и 10 на 5, а 22 и 77 на 11: $$ \frac{15}{22} \cdot \frac{77}{10} = \frac{15 \div 5}{22 \div 11} \cdot \frac{77 \div 11}{10 \div 5} = \frac{3}{2} \cdot \frac{7}{2} = \frac{3 \cdot 7}{2 \cdot 2} = \frac{21}{4} $$ Выделим целую часть: $$ \frac{21}{4} = 5 \frac{1}{4} $$ **Ответ: $5 \frac{1}{4}$** **з)** $4 \frac{6}{7} : 3 \frac{9}{14}$ Сначала переведём смешанные дроби в неправильные: $4 \frac{6}{7} = \frac{4 \cdot 7 + 6}{7} = \frac{34}{7}$ $3 \frac{9}{14} = \frac{3 \cdot 14 + 9}{14} = \frac{42 + 9}{14} = \frac{51}{14}$ Теперь разделим, умножив первую дробь на перевёрнутую вторую. Сократим 34 и 51 на 17, а 7 и 14 на 7: $$ \frac{34}{7} : \frac{51}{14} = \frac{34}{7} \cdot \frac{14}{51} = \frac{34 \div 17}{7 \div 7} \cdot \frac{14 \div 7}{51 \div 17} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \frac{4}{3} $$ Выделим целую часть: $$ \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3} $$ **Ответ: $1 \frac{1}{3}$** **и)** $6 \frac{1}{8} \cdot 3 \frac{1}{5} : 7 \frac{1}{15}$ Сначала переведём все смешанные дроби в неправильные: $6 \frac{1}{8} = \frac{6 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{49}{8}$ $3 \frac{1}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{16}{5}$ $7 \frac{1}{15} = \frac{7 \cdot 15 + 1}{15} = \frac{105 + 1}{15} = \frac{106}{15}$ Теперь выполним умножение, а затем деление: $$ \frac{49}{8} \cdot \frac{16}{5} : \frac{106}{15} $$ Умножаем, сокращая 8 и 16 на 8: $$ \left( \frac{49}{8 \div 8} \cdot \frac{16 \div 8}{5} \right) : \frac{106}{15} = \left( \frac{49}{1} \cdot \frac{2}{5} \right) : \frac{106}{15} = \frac{98}{5} : \frac{106}{15} $$ Теперь делим, умножив на перевёрнутую дробь. Сокращаем 98 и 106 на 2, а 5 и 15 на 5: $$ \frac{98}{5} \cdot \frac{15}{106} = \frac{98 \div 2}{5 \div 5} \cdot \frac{15 \div 5}{106 \div 2} = \frac{49}{1} \cdot \frac{3}{53} = \frac{49 \cdot 3}{1 \cdot 53} = \frac{147}{53} $$ Выделим целую часть: $$ \frac{147}{53} = 2 \frac{41}{53} $$ **Ответ: $2 \frac{41}{53}$** **к)** $-3,6 + 11,5$ Это сложение чисел с разными знаками. Нужно из большего по модулю числа вычесть меньшее и поставить знак большего числа. $|11,5| > |-3,6|$, значит, результат будет положительным. $$ 11,5 - 3,6 = 7,9 $$ **Ответ: $7,9$** **л)** $-19,1 - 5,7$ Это сложение двух отрицательных чисел. Нужно сложить их модули и поставить знак минус: $$ -(19,1 + 5,7) = -24,8 $$ **Ответ: $-24,8$** **м)** $-3,1 - (-5,9)$ Минус на минус даёт плюс, так что это то же самое, что $-3,1 + 5,9$. Теперь это сложение чисел с разными знаками. Из большего по модулю числа вычитаем меньшее и ставим знак большего числа. $|5,9| > |-3,1|$, значит, результат будет положительным. $$ 5,9 - 3,1 = 2,8 $$ **Ответ: $2,8$** **н)** $-13,6 + 8,7$ Это сложение чисел с разными знаками. Из большего по модулю числа вычитаем меньшее и ставим знак большего числа. $|-13,6| > |8,7|$, значит, результат будет отрицательным. $$ -(13,6 - 8,7) = -4,9 $$ **Ответ: $-4,9$** **о)** $-3 \frac{5}{12} + 1 \frac{11}{18}$ Сначала приведём дробные части к общему знаменателю. Общий знаменатель для 12 и 18 будет 36: $$ -3 \frac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3} + 1 \frac{11 \cdot 2}{18 \cdot 2} = -3 \frac{15}{36} + 1 \frac{22}{36} $$ Теперь у нас сложение чисел с разными знаками. Чтобы их сложить, мы из большего по модулю числа вычитаем меньшее и ставим знак большего. $|-3 \frac{15}{36}| > |1 \frac{22}{36}|$, значит, результат будет отрицательным. Вычтем: $$ 3 \frac{15}{36} - 1 \frac{22}{36} $$ Здесь нужно «занять» у целой части, чтобы дробная часть стала больше. $3 \frac{15}{36} = 2 + 1 + \frac{15}{36} = 2 + \frac{36}{36} + \frac{15}{36} = 2 \frac{51}{36}$. $$ 2 \frac{51}{36} - 1 \frac{22}{36} = (2 - 1) + \left( \frac{51}{36} - \frac{22}{36} \right) = 1 + \frac{29}{36} = 1 \frac{29}{36} $$ И не забываем про знак минус: **Ответ: $-1 \frac{29}{36}$** **п)** $-8 \frac{11}{30} + 6,9$ Сначала представим десятичную дробь $6,9$ как обыкновенную: $6,9 = 6 \frac{9}{10}$. Теперь приведём дробные части к общему знаменателю. Общий знаменатель для 30 и 10 будет 30: $$ -8 \frac{11}{30} + 6 \frac{9 \cdot 3}{10 \cdot 3} = -8 \frac{11}{30} + 6 \frac{27}{30} $$ Это сложение чисел с разными знаками. Из большего по модулю числа вычитаем меньшее и ставим знак большего числа. $|-8 \frac{11}{30}| > |6 \frac{27}{30}|$, значит, результат будет отрицательным. Вычтем: $$ 8 \frac{11}{30} - 6 \frac{27}{30} $$ Здесь нужно «занять» у целой части. $8 \frac{11}{30} = 7 + 1 + \frac{11}{30} = 7 + \frac{30}{30} + \frac{11}{30} = 7 \frac{41}{30}$. $$ 7 \frac{41}{30} - 6 \frac{27}{30} = (7 - 6) + \left( \frac{41}{30} - \frac{27}{30} \right) = 1 + \frac{14}{30} = 1 \frac{14}{30} $$ Дробную часть можно сократить на 2: $\frac{14 \div 2}{30 \div 2} = \frac{7}{15}$. Получаем $1 \frac{7}{15}$. И не забываем про знак минус: **Ответ: $-1 \frac{7}{15}$** **р)** $1,6 \cdot (-4,5)$ Умножим числа, а затем поставим знак. Плюс на минус даёт минус. $$ 1,6 \cdot 4,5 $$ Умножим столбиком: $$\begin{array}{r} 1,6 \times \phantom{0} 4,5 \\ \hline \phantom{0} 80 \quad (1,6 \cdot 5) \\ 64 \phantom{0} \quad (1,6 \cdot 40) \\ \hline 7,20 \end{array}$$ В результате два знака после запятой, поэтому 7,20 это 7,2. Не забываем про знак минус. **Ответ: $-7,2$** **с)** $-135,2 : (-6,5)$ При делении двух отрицательных чисел результат будет положительным. Разделим 135,2 на 6,5. Чтобы делить на десятичную дробь, умножим оба числа на 10, чтобы избавиться от запятой в делителе: $$ 135,2 : 6,5 = 1352 : 65 $$ Разделим столбиком: $$\begin{array}{cccc|l} 1 & 3 & 5 & 2 & 65 \\ \hline 1 & 3 & 0 & & 20,8 \\ \hline & & 5 & 2 \\ & & 0 & 0 \\ \hline & & 5 & 2 & 0 \\ & & 5 & 2 & 0 \\ \hline & & & 0 \end{array}$$ **Ответ: $20,8$** **т)** $\left( -1 \frac{7}{8} \right) \cdot 1 \frac{1}{3}$ Сначала переведём смешанные дроби в неправильные: $-1 \frac{7}{8} = -\frac{1 \cdot 8 + 7}{8} = -\frac{15}{8}$ $1 \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$ Теперь умножим. Минус на плюс даёт минус: $$ -\frac{15}{8} \cdot \frac{4}{3} $$ Сократим 15 и 3 на 3, а 8 и 4 на 4: $$ -\frac{15 \div 3}{8 \div 4} \cdot \frac{4 \div 4}{3 \div 3} = -\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{1} = -\frac{5}{2} $$ Выделим целую часть: $$ -\frac{5}{2} = -2 \frac{1}{2} $$ **Ответ: $-2 \frac{1}{2}$** **у)** $1 \frac{2}{3} : \left( -3 \frac{1}{3} \right)$ Сначала переведём смешанные дроби в неправильные: $1 \frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$ $-3 \frac{1}{3} = -\frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{10}{3}$ Теперь разделим. Плюс на минус даёт минус: $$ \frac{5}{3} : \left( -\frac{10}{3} \right) = -\left( \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{10} \right) $$ Сократим 5 и 10 на 5, а 3 и 3 на 3: $$ -\left( \frac{5 \div 5}{3 \div 3} \cdot \frac{3 \div 3}{10 \div 5} \right) = -\left( \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2} \right) = -\frac{1}{2} $$ **Ответ: $-\frac{1}{2}$** ### 2. Найдите значение выражения удобным способом: **а)** $-7 \frac{12}{23} - 5,93 - 71 \frac{13}{27} - \left( -7 \frac{12}{23} \right) - 6,07$ Сначала раскроем скобки. Минус на минус даёт плюс: $$ -7 \frac{12}{23} - 5,93 - 71 \frac{13}{27} + 7 \frac{12}{23} - 6,07 $$ Теперь сгруппируем похожие числа: $$ \left( -7 \frac{12}{23} + 7 \frac{12}{23} \right) + (-5,93 - 6,07) - 71 \frac{13}{27} $$ Первые две дроби взаимно уничтожаются (их сумма равна 0): $$ 0 + (-5,93 - 6,07) - 71 \frac{13}{27} $$ Сложим десятичные дроби. Оба числа отрицательные, значит, складываем модули и ставим минус: $$ -(5,93 + 6,07) = -12,00 = -12 $$ Теперь подставим это в выражение: $$ -12 - 71 \frac{13}{27} $$ Можно записать это как сложение двух отрицательных чисел: $$ -(12 + 71 \frac{13}{27}) = -83 \frac{13}{27} $$ **Ответ: $-83 \frac{13}{27}$** **б)** $-25 - 24 - 23 - ... - 1 + 0 + 1 + ... + 32 + 33$ Это сумма ряда чисел. От $-25$ до $25$ все числа взаимно уничтожаются (например, $-25 + 25 = 0$, $-24 + 24 = 0$ и так далее). Ноль в середине тоже не меняет сумму. Значит, сумма от $-25$ до $25$ равна $0$. Остаются числа, которые больше $25$: $26 + 27 + 28 + 29 + 30 + 31 + 32 + 33$. $$ 26 + 27 + 28 + 29 + 30 + 31 + 32 + 33 $$ Можно сложить эти числа по порядку или найти сумму арифметической прогрессии. Давай сложим их по порядку, чтобы было понятнее: $26 + 27 = 53$ $53 + 28 = 81$ $81 + 29 = 110$ $110 + 30 = 140$ $140 + 31 = 171$ $171 + 32 = 203$ $203 + 33 = 236$ Или можно заметить, что это арифметическая прогрессия. Количество чисел: $33 - 26 + 1 = 8$ чисел. Сумма арифметической прогрессии: $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$. $S_8 = \frac{(26 + 33) \cdot 8}{2} = \frac{59 \cdot 8}{2} = 59 \cdot 4 = 236$. **Ответ: $236$**