Найди среднее арифметическое чисел

Привет! Давай разберём задания по математике. ### Задание 1.1 Отметь на координатной прямой числа 4 и 12. Найди их среднее арифметическое и тоже отметь его на координатной прямой. Какое предположение можно сделать? 1. Сначала отметим на координатной прямой точки, которые соответствуют числам 4 и 12. $$\text{---(0)---(4)---------(8)---------(12)--- > X}$$ 2. Теперь найдём среднее арифметическое чисел 4 и 12. Чтобы найти среднее арифметическое, нужно сложить все числа и разделить на их количество. $$\frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8$$ 3. Отметим число 8 на координатной прямой: $$\text{---(0)---(4)---(8)---------(12)--- > X}$$ 4. **Предположение:** Среднее арифметическое двух чисел находится ровно посередине между этими числами на координатной прямой. ### Задание 1.2 На рисунке 1.1 отрезки $NM$ и $NK$ равны. Найдите координату точки $M$. Найдите среднее арифметическое координат точек $M$ и $K$. 1. Смотрим на рисунок 1.1. Координата точки $N$ равна 11,5, а координата точки $K$ равна 12,2. 2. По условию, отрезок $NM$ равен отрезку $NK$. Это значит, что точка $N$ находится ровно посередине между точками $M$ и $K$. 3. Разница между координатами $K$ и $N$ равна: $$12,2 - 11,5 = 0,7$$ 4. Так как $N$ — середина отрезка $MK$, то координата $M$ будет на 0,7 меньше, чем координата $N$. $$11,5 - 0,7 = 10,8$$ Значит, координата точки $M$ равна 10,8. 5. Теперь найдём среднее арифметическое координат точек $M$ и $K$. Для этого сложим их координаты и разделим на 2. $$\frac{10,8 + 12,2}{2} = \frac{23}{2} = 11,5$$ **Ответ: Координата точки M равна 10,8. Среднее арифметическое координат точек M и K равно 11,5.** ### Задание 1.3 Найдите среднее арифметическое чисел: а) 83,4 и 84,5; б) 0,2; 0,3 и 0,4; в) 2,23; 2,26; 2,34 и 2,07; г) 6,276; 5,864; 7,234 и 3,003. Чтобы найти среднее арифметическое, нужно сложить все числа и разделить на их количество. а) $$\, \frac{83,4 + 84,5}{2} = \frac{167,9}{2} = 83,95$$ б) $$\, \frac{0,2 + 0,3 + 0,4}{3} = \frac{0,9}{3} = 0,3$$ в) $$\, \frac{2,23 + 2,26 + 2,34 + 2,07}{4} = \frac{8,9}{4} = 2,225$$ г) $$\, \frac{6,276 + 5,864 + 7,234 + 3,003}{4} = \frac{22,377}{4} = 5,59425$$ **Ответ:** **а) 83,95** **б) 0,3** **в) 2,225** **г) 5,59425** ### Задание 1.4 В течение ноября ежедневно в 12 часов дня школьники записывали температуру воздуха в градусах тепла. Найди-те среднюю температуру за эту неделю в 12 ч дня. Округлите до десятых. Показания термометра: 4,1; 3,8; 4,1; 4,2; 4,1; 4,0; 3,9 градусов тепла. 1. Чтобы найти среднюю температуру, нужно сложить все показания и разделить на количество дней (7 дней). $$(4,1 + 3,8 + 4,1 + 4,2 + 4,1 + 4,0 + 3,9) \div 7$$ 2. Сумма температур: $$4,1 + 3,8 + 4,1 + 4,2 + 4,1 + 4,0 + 3,9 = 28,2$$ 3. Средняя температура: $$\frac{28,2}{7} \approx 4,02857...$$ 4. Теперь округлим до десятых. Смотрим на следующую цифру после десятых (это 2). Так как 2 меньше 5, то цифра в разряде десятых не меняется. $$4,02857... \approx 4,0$$ **Ответ: Средняя температура за неделю приблизительно 4,0 градуса.** ### Задание 1.5 У ученика 7 класса за четверть по литературе стоят следующие оценки: 5, 3, 4, 4, 5, 5, 4. Найдите среднюю оценку ученика за четверть. Округлите до сотых. 1. Чтобы найти среднюю оценку, нужно сложить все оценки и разделить на их количество. $$(5 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 4) \div 7$$ 2. Сумма оценок: $$5 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 4 = 30$$ 3. Средняя оценка: $$\frac{30}{7} \approx 4,2857...$$ 4. Теперь округлим до сотых. Смотрим на следующую цифру после сотых (это 5). Так как 5 или больше, то цифра в разряде сотых увеличивается на 1. $$4,2857... \approx 4,29$$ **Ответ: Средняя оценка ученика за четверть приблизительно 4,29.** ### Задание 1.6 Чему равно среднее арифметическое чисел 42,43; 42,64 и 42,57? Округлите до сотых. 1. Сложим все числа и разделим на их количество (их 3). $$(42,43 + 42,64 + 42,57) \div 3$$ 2. Сумма чисел: $$42,43 + 42,64 + 42,57 = 127,64$$ 3. Среднее арифметическое: $$\frac{127,64}{3} \approx 42,5466...$$ 4. Округлим до сотых. Смотрим на следующую цифру после сотых (это 6). Так как 6 больше 5, то цифра в разряде сотых увеличивается на 1. $$42,5466... \approx 42,55$$ **Ответ: Среднее арифметическое чисел приблизительно 42,55.** ### Задание 1.7 Пешеход шёл 2 ч со скоростью 5,2 км/ч, 2 ч со скоростью 4,8 км/ч и 1 ч со скоростью 4,5 км/ч. Чему равна средняя скорость пешехода на всём пути? 1. Чтобы найти среднюю скорость, нужно найти весь путь и разделить его на всё время в пути. 2. Найдём весь путь. Путь (S) = скорость (v) × время (t). * Первый участок: $$S_1 = 5,2 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 10,4 \text{ км}$$ * Второй участок: $$S_2 = 4,8 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 9,6 \text{ км}$$ * Третий участок: $$S_3 = 4,5 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 4,5 \text{ км}$$ 3. Весь пройденный путь: $$S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 = 10,4 + 9,6 + 4,5 = 24,5 \text{ км}$$ 4. Всё время в пути: $$T_{общ} = 2 \text{ ч} + 2 \text{ ч} + 1 \text{ ч} = 5 \text{ ч}$$ 5. Средняя скорость: $$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{T_{общ}} = \frac{24,5 \text{ км}}{5 \text{ ч}} = 4,9 \text{ км/ч}$$ **Ответ: Средняя скорость пешехода на всём пути равна 4,9 км/ч.** ### Задание 1.8 Экскурсионный теплоход двигался 4,3 ч по озеру со скоростью 24 км/ч, наконец, 1,2 ч по заливу со скоростью 10 км/ч. Найдите среднюю скорость движения теплохода на всём пути. 1. Снова ищем среднюю скорость, то есть весь путь делим на всё время. 2. Найдём весь путь: * По озеру: $$S_1 = 24 \text{ км/ч} \times 4,3 \text{ ч} = 103,2 \text{ км}$$ * По заливу: $$S_2 = 10 \text{ км/ч} \times 1,2 \text{ ч} = 12 \text{ км}$$ 3. Весь пройденный путь: $$S_{общ} = S_1 + S_2 = 103,2 + 12 = 115,2 \text{ км}$$ 4. Всё время в пути: $$T_{общ} = 4,3 \text{ ч} + 1,2 \text{ ч} = 5,5 \text{ ч}$$ 5. Средняя скорость: $$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{T_{общ}} = \frac{115,2 \text{ км}}{5,5 \text{ ч}} \approx 20,945... \text{ км/ч}$$ 6. Округляем до десятых (как в предыдущих заданиях, если не указано иное, округляем до одного знака после запятой для скорости). Допущение: округляем до десятых, так как скорости заданы с одним знаком после запятой. $$20,945... \approx 20,9 \text{ км/ч}$$ **Ответ: Средняя скорость движения теплохода на всём пути приблизительно 20,9 км/ч.** ### Задание 1.9 Черепаха бежала 5 мин со скоростью 70,2 м/мин и 2 мин со скоростью 106,4 м/мин. Найдите среднюю скорость черепахи на пройденном за это время пути. Округлите до десятых. 1. Сначала нужно найти весь путь, который проползла черепаха, а потом разделить на всё время движения. 2. Найдём пройденный путь: * Первый участок: $$S_1 = 70,2 \text{ м/мин} \times 5 \text{ мин} = 351 \text{ м}$$ * Второй участок: $$S_2 = 106,4 \text{ м/мин} \times 2 \text{ мин} = 212,8 \text{ м}$$ 3. Весь пройденный путь: $$S_{общ} = S_1 + S_2 = 351 + 212,8 = 563,8 \text{ м}$$ 4. Всё время движения: $$T_{общ} = 5 \text{ мин} + 2 \text{ мин} = 7 \text{ мин}$$ 5. Средняя скорость: $$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{T_{общ}} = \frac{563,8 \text{ м}}{7 \text{ мин}} \approx 80,5428... \text{ м/мин}$$ 6. Округляем до десятых. Смотрим на следующую цифру после десятых (это 4). Так как 4 меньше 5, то цифра в разряде десятых не меняется. $$80,5428... \approx 80,5 \text{ м/мин}$$ **Ответ: Средняя скорость черепахи на пройденном пути приблизительно 80,5 м/мин.** ### Задание 1.10 На первом поле собрали 5425 ц помидоров, а на втором — 5420 ц. Найдите среднюю урожайность на двух этих полях, если площадь первого поля равна 29 га, а второго — 33 га. Округлите результат до сотен. Предложите другой способ решения этой задачи. 1. Чтобы найти среднюю урожайность, нужно найти весь урожай и разделить на всю площадь. 2. Найдём весь урожай: $$Урожай_{общ} = 5425 \text{ ц} + 5420 \text{ ц} = 10845 \text{ ц}$$ 3. Найдём всю площадь: $$Площадь_{общ} = 29 \text{ га} + 33 \text{ га} = 62 \text{ га}$$ 4. Средняя урожайность: $$Урожайность_{ср} = \frac{10845 \text{ ц}}{62 \text{ га}} \approx 174,919... \text{ ц/га}$$ 5. Округлим результат до сотен. Это значит, что нам нужно округлить до целого числа, а затем умножить на 100. Но обычно урожайность округляют до целых чисел, или до десятых/сотых, чтобы показать точность. Возможно, в задании имеется в виду округлить до сотых *центнеров на гектар*. Допущение: Будем округлять до сотых, так как обычно урожайность указывают с точностью до десятых или сотых долей. $$174,919... \approx 174,92 \text{ ц/га}$$ Если же имелось в виду округлить до ближайшей сотни (например, 100 или 200), то это было бы 200 ц/га, но это слишком грубо для урожайности. Поэтому остановимся на округлении до сотых. 6. Другой способ решения задачи – это найти урожайность каждого поля отдельно, а затем найти среднее арифметическое этих урожайностей. Но это будет **неправильно**, потому что поля имеют разную площадь. Средняя урожайность должна учитывать, что одно поле больше другого. Поэтому первый способ (суммарный урожай / суммарная площадь) является верным. *Урожайность первого поля:* $$\, \frac{5425 \text{ ц}}{29 \text{ га}} \approx 187,07 \text{ ц/га}$$ *Урожайность второго поля:* $$\, \frac{5420 \text{ ц}}{33 \text{ га}} \approx 164,24 \text{ ц/га}$$ *Среднее арифметическое этих двух урожайностей (неправильно):* $$\, \frac{187,07 + 164,24}{2} = \frac{351,31}{2} \approx 175,65 \text{ ц/га}$$ Как видишь, результат немного отличается, потому что не учтена разная площадь полей. Поэтому нужно использовать первый способ. **Ответ: Средняя урожайность на двух полях приблизительно 174,92 ц/га. Другой способ решения, где мы бы находили среднее арифметическое урожайностей каждого поля, был бы некорректным, так как поля имеют разную площадь.** ### Задание 1.11 Первое число равно 7. Чему равно второе число, если среднее арифметическое двух чисел равно 5,3? 1. Пусть первое число будет $x_1$, а второе число $x_2$. 2. Нам дано, что $x_1 = 7$. 3. Среднее арифметическое двух чисел находится по формуле: $$\frac{x_1 + x_2}{2} = \text{среднее арифметическое}$$ 4. Подставим известные значения: $$\frac{7 + x_2}{2} = 5,3$$ 5. Чтобы найти $x_2$, сначала умножим обе стороны уравнения на 2: $$7 + x_2 = 5,3 \times 2$$ $$7 + x_2 = 10,6$$ 6. Теперь вычтем 7 из обеих сторон уравнения: $$x_2 = 10,6 - 7$$ $$x_2 = 3,6$$ **Ответ: Второе число равно 3,6.**