При каком значении а принимает наибольшее значение дробь 4/(а^2+5)?

Привет! Давай разберемся с этими заданиями. Нам нужно найти допустимые значения для разных выражений, определить область определения функций, найти значения переменных, при которых дроби равны нулю, и доказать свойства дробей. ### 11. Укажите допустимые значения переменной в выражении: Мы не можем делить на ноль, поэтому знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Если знаменателя нет, то переменная может быть любой. а) $x^2 - 8x + 9$; Здесь нет дроби, поэтому $x$ может быть любым числом. **Ответ: $x$ — любое действительное число.** б) $\frac{1}{6x - 3}$; Знаменатель $6x - 3$ не должен быть равен нулю: $6x - 3 \neq 0$ $6x \neq 3$ $x \neq \frac{3}{6}$ $x \neq \frac{1}{2}$ **Ответ: $x \neq \frac{1}{2}$.** в) $\frac{3x - 6}{7}$; Знаменатель равен $7$, он никогда не равен нулю. Поэтому $x$ может быть любым числом. **Ответ: $x$ — любое действительное число.** г) $\frac{x^2 - 8}{4x(x + 1)}$; Знаменатель $4x(x + 1)$ не должен быть равен нулю. Это значит, что ни $4x$, ни $x+1$ не могут быть нулем: $4x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ $x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$ **Ответ: $x \neq 0$ и $x \neq -1$.** д) $\frac{x - 5}{x^2 + 25} - 3x$; Знаменатель $x^2 + 25$ не должен быть равен нулю. Так как $x^2$ всегда больше или равно $0$, то $x^2 + 25$ всегда будет больше $0$ (не равно $0$). Поэтому $x$ может быть любым числом. **Ответ: $x$ — любое действительное число.** е) $\frac{x}{x + 8} + \frac{x - 8}{x}$; Здесь у нас два знаменателя, и оба не должны быть равны нулю: $x + 8 \neq 0 \Rightarrow x \neq -8$ $x \neq 0$ **Ответ: $x \neq -8$ и $x \neq 0$.** ### 12. Найдите допустимые значения переменной в выражении: Снова смотрим на знаменатели дробей. а) $\frac{5y - 8}{11}$; Знаменатель равен $11$, он никогда не равен нулю. Значит, $y$ может быть любым числом. **Ответ: $y$ — любое действительное число.** б) $\frac{25}{y - 9}$; Знаменатель $y - 9$ не должен быть равен нулю: $y - 9 \neq 0$ $y \neq 9$ **Ответ: $y \neq 9$.** в) $\frac{y^2 + 1}{y^2 - 2y}$; Знаменатель $y^2 - 2y$ не должен быть равен нулю. Можно вынести $y$ за скобки: $y(y - 2) \neq 0$ Значит, $y \neq 0$ и $y - 2 \neq 0 \Rightarrow y \neq 2$. **Ответ: $y \neq 0$ и $y \neq 2$.** г) $\frac{y - 10}{y^2 + 3}$; Знаменатель $y^2 + 3$ не должен быть равен нулю. Так как $y^2$ всегда больше или равно $0$, то $y^2 + 3$ всегда будет больше $0$. Поэтому $y$ может быть любым числом. **Ответ: $y$ — любое действительное число.** д) $\frac{y}{y - 6} + \frac{15}{y + 6}$; Здесь у нас два знаменателя, и оба не должны быть равны нулю: $y - 6 \neq 0 \Rightarrow y \neq 6$ $y + 6 \neq 0 \Rightarrow y \neq -6$ **Ответ: $y \neq 6$ и $y \neq -6$.** е) $\frac{32}{y} - \frac{y + 1}{y + 7}$; Здесь также два знаменателя, и оба не должны быть равны нулю: $y \neq 0$ $y + 7 \neq 0 \Rightarrow y \neq -7$ **Ответ: $y \neq 0$ и $y \neq -7$.** ### 13. Найдите область определения функции: Область определения — это все значения $x$, при которых выражение имеет смысл (то есть знаменатель не равен нулю). а) $y = \frac{1}{x - 2}$; Знаменатель $x - 2$ не должен быть равен нулю: $x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$ **Ответ: $x \neq 2$.** б) $y = \frac{2x + 3}{x(x + 1)}$; Знаменатель $x(x + 1)$ не должен быть равен нулю: $x \neq 0$ $x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$ **Ответ: $x \neq 0$ и $x \neq -1$.** в) $y = x + \frac{1}{x + 5}$; Знаменатель $x + 5$ не должен быть равен нулю: $x + 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5$ **Ответ: $x \neq -5$.** ### 14. При каком значении переменной значение дроби $\frac{x - 3}{5}$ равно: а) $1$; $\frac{x - 3}{5} = 1$ $x - 3 = 1 \cdot 5$ $x - 3 = 5$ $x = 5 + 3$ $x = 8$ **Ответ: $x = 8$.** б) $0$; Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель нет. Знаменатель у нас $5$ (не ноль). $x - 3 = 0$ $x = 3$ **Ответ: $x = 3$.** в) $-1$; $\frac{x - 3}{5} = -1$ $x - 3 = -1 \cdot 5$ $x - 3 = -5$ $x = -5 + 3$ $x = -2$ **Ответ: $x = -2$.** г) $3$? $\frac{x - 3}{5} = 3$ $x - 3 = 3 \cdot 5$ $x - 3 = 15$ $x = 15 + 3$ $x = 18$ **Ответ: $x = 18$.** ### 15. При каких значениях переменной равно нулю значение дроби: Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. а) $\frac{y - 5}{8}$; Числитель $y - 5$ должен быть равен нулю: $y - 5 = 0 \Rightarrow y = 5$ Знаменатель $8 \neq 0$, так что всё в порядке. **Ответ: $y = 5$.** б) $\frac{2y + 3}{10}$; Числитель $2y + 3$ должен быть равен нулю: $2y + 3 = 0$ $2y = -3$ $y = -\frac{3}{2}$ Знаменатель $10 \neq 0$, так что всё в порядке. **Ответ: $y = -\frac{3}{2}$.** в) $\frac{x(x - 1)}{x + 4}$; Числитель $x(x - 1)$ должен быть равен нулю, а знаменатель $x + 4$ не должен быть равен нулю. $x(x - 1) = 0 \Rightarrow x = 0$ или $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ Проверим знаменатель: Если $x = 0$, то $x + 4 = 0 + 4 = 4 \neq 0$. Подходит. Если $x = 1$, то $x + 4 = 1 + 4 = 5 \neq 0$. Подходит. **Ответ: $x = 0$ и $x = 1$.** г) $\frac{x(x + 3)}{2x + 6}$? Числитель $x(x + 3)$ должен быть равен нулю, а знаменатель $2x + 6$ не должен быть равен нулю. $x(x + 3) = 0 \Rightarrow x = 0$ или $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$ Проверим знаменатель: $2x + 6 \neq 0$ $2(x + 3) \neq 0$ $x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$ Значит, $x = -3$ не подходит, потому что при этом значении знаменатель равен нулю. Только $x = 0$ является решением. **Ответ: $x = 0$.** ### 16. Найдите значения переменной, при которых равно нулю значение дроби: Как и в предыдущем задании, числитель должен быть равен нулю, а знаменатель нет. а) $\frac{m + 4}{6}$; Числитель $m + 4 = 0 \Rightarrow m = -4$ Знаменатель $6 \neq 0$. Подходит. **Ответ: $m = -4$.** б) $\frac{7 - 5n}{11}$; Числитель $7 - 5n = 0$ $-5n = -7$ $n = \frac{-7}{-5}$ $n = \frac{7}{5}$ Знаменатель $11 \neq 0$. Подходит. **Ответ: $n = \frac{7}{5}$.** в) $\frac{b^2 - b}{b + 2}$; Числитель $b^2 - b = 0 \Rightarrow b(b - 1) = 0 \Rightarrow b = 0$ или $b = 1$ Знаменатель $b + 2 \neq 0 \Rightarrow b \neq -2$ Оба найденных значения $b=0$ и $b=1$ не равны $-2$. Подходят. **Ответ: $b = 0$ и $b = 1$.** г) $\frac{y^2 - 25}{3y - 15}$; Числитель $y^2 - 25 = 0 \Rightarrow (y - 5)(y + 5) = 0 \Rightarrow y = 5$ или $y = -5$ Знаменатель $3y - 15 \neq 0$ $3(y - 5) \neq 0$ $y - 5 \neq 0 \Rightarrow y \neq 5$ Значение $y = 5$ не подходит, потому что при этом значении знаменатель равен нулю. Только $y = -5$ является решением. **Ответ: $y = -5$.** ### 17. Определите знак дроби $\frac{a}{b}$, если известно, что: Если числа $a$ и $b$ имеют одинаковый знак (оба положительные или оба отрицательные), то их частное будет положительным. Если знаки разные, то частное будет отрицательным. а) $a > 0$ и $b > 0$; Оба числа положительные. Значит, $\frac{a}{b} > 0$. **Ответ: Дробь положительная.** б) $a > 0$ и $b < 0$; Числа разных знаков. Значит, $\frac{a}{b} < 0$. **Ответ: Дробь отрицательная.** в) $a < 0$ и $b > 0$; Числа разных знаков. Значит, $\frac{a}{b} < 0$. **Ответ: Дробь отрицательная.** г) $a < 0$ и $b < 0$. Оба числа отрицательные. Значит, $\frac{a}{b} > 0$. **Ответ: Дробь положительная.** ### 18. Докажите, что при любом значении переменной значение дроби: а) $\frac{3}{x^2 + 1}$ положительно; Мы знаем, что $x^2 \ge 0$ (квадрат любого числа неотрицателен). Тогда $x^2 + 1 \ge 1$, то есть знаменатель всегда положительный. Числитель $3$ тоже положительный. Частное двух положительных чисел всегда положительно. **Доказано: $\frac{3}{x^2 + 1} > 0$ при любом $x$.** б) $\frac{-5}{y^2 + 4}$ отрицательно; Мы знаем, что $y^2 \ge 0$. Тогда $y^2 + 4 \ge 4$, то есть знаменатель всегда положительный. Числитель $-5$ отрицательный. Частное отрицательного числа и положительного числа всегда отрицательно. **Доказано: $\frac{-5}{y^2 + 4} < 0$ при любом $y$.** в) $\frac{(a - 1)^2}{a^2 + 10}$ неотрицательно; Мы знаем, что $(a - 1)^2 \ge 0$ (квадрат любого числа неотрицателен). Знаменатель $a^2 + 10$: так как $a^2 \ge 0$, то $a^2 + 10 \ge 10$, то есть знаменатель всегда положительный. Частное неотрицательного числа на положительное число всегда неотрицательно. **Доказано: $\frac{(a - 1)^2}{a^2 + 10} \ge 0$ при любом $a$.** г) $\frac{(b - 3)^2}{-b^2 - 1}$ неположительно. Мы знаем, что $(b - 3)^2 \ge 0$ (числитель всегда неотрицателен). Знаменатель $-b^2 - 1$: так как $b^2 \ge 0$, то $-b^2 \le 0$. Тогда $-b^2 - 1 \le -1$, то есть знаменатель всегда отрицательный. Частное неотрицательного числа на отрицательное число всегда неположительно (то есть меньше или равно нулю). **Доказано: $\frac{(b - 3)^2}{-b^2 - 1} \le 0$ при любом $b$.** ### 19. При каком значении $a$ принимает наибольшее значение дробь: а) $\frac{4}{a^2 + 5}$; Чтобы дробь была наибольшей, её знаменатель должен быть наименьшим (при условии, что числитель положительный, а знаменатель тоже положительный). У нас числитель $4 > 0$, а знаменатель $a^2 + 5$ всегда положителен (так как $a^2 \ge 0$, то $a^2 + 5 \ge 5$). Знаменатель $a^2 + 5$ будет наименьшим, когда $a^2$ будет наименьшим. Наименьшее значение для $a^2$ — это $0$, что происходит при $a = 0$. При $a = 0$, знаменатель равен $0^2 + 5 = 5$. Дробь будет $\frac{4}{5}$. **Ответ: При $a = 0$.** б) $\frac{10}{(a - 3)^2 + 1}$? Чтобы дробь была наибольшей, её знаменатель должен быть наименьшим. Числитель $10 > 0$, знаменатель $(a - 3)^2 + 1$ всегда положителен (так как $(a - 3)^2 \ge 0$, то $(a - 3)^2 + 1 \ge 1$). Знаменатель $(a - 3)^2 + 1$ будет наименьшим, когда $(a - 3)^2$ будет наименьшим. Наименьшее значение для $(a - 3)^2$ — это $0$, что происходит, когда $a - 3 = 0$, то есть $a = 3$. При $a = 3$, знаменатель равен $(3 - 3)^2 + 1 = 0^2 + 1 = 1$. Дробь будет $\frac{10}{1} = 10$. **Ответ: При $a = 3$.**