Докажи, что при любом значении 1) $(p - 3)(p + 4) < p(p + 1)$

Привет! Давай докажем эти неравенства. Помни, что доказать неравенство — значит показать, что оно всегда верное, при любых значениях букв. ### Задание 9 #### 1) Докажем неравенство $(p - 3)(p + 4) < p(p + 1)$; Сначала раскроем скобки в левой и правой частях неравенства: Левая часть: $(p - 3)(p + 4) = p \cdot p + p \cdot 4 - 3 \cdot p - 3 \cdot 4 = p^2 + 4p - 3p - 12 = p^2 + p - 12$ Правая часть: $p(p + 1) = p \cdot p + p \cdot 1 = p^2 + p$ Теперь подставим раскрытые выражения обратно в неравенство: $p^2 + p - 12 < p^2 + p$ Вычтем $p^2$ и $p$ из обеих частей неравенства: $p^2 + p - 12 - p^2 - p < p^2 + p - p^2 - p$ $-12 < 0$ Мы получили неравенство $-12 < 0$, которое всегда верное! Значит, исходное неравенство $(p - 3)(p + 4) < p(p + 1)$ тоже всегда верное при любом значении $p$. #### 2) Докажем неравенство $(x + 1)^2 > x(x + 2)$; Раскроем скобки в обеих частях. Помни формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Левая часть: $(x + 1)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1$ Правая часть: $x(x + 2) = x \cdot x + x \cdot 2 = x^2 + 2x$ Подставим раскрытые выражения в неравенство: $x^2 + 2x + 1 > x^2 + 2x$ Вычтем $x^2$ и $2x$ из обеих частей неравенства: $x^2 + 2x + 1 - x^2 - 2x > x^2 + 2x - x^2 - 2x$ $1 > 0$ Мы получили неравенство $1 > 0$, которое всегда верное! Значит, исходное неравенство $(x + 1)^2 > x(x + 2)$ тоже всегда верное при любом значении $x$. #### 3) Докажем неравенство $(a - 5)(a + 2) > (a + 5)(a - 8)$; Раскроем скобки в обеих частях неравенства: Левая часть: $(a - 5)(a + 2) = a \cdot a + a \cdot 2 - 5 \cdot a - 5 \cdot 2 = a^2 + 2a - 5a - 10 = a^2 - 3a - 10$ Правая часть: $(a + 5)(a - 8) = a \cdot a - a \cdot 8 + 5 \cdot a - 5 \cdot 8 = a^2 - 8a + 5a - 40 = a^2 - 3a - 40$ Подставим раскрытые выражения в неравенство: $a^2 - 3a - 10 > a^2 - 3a - 40$ Вычтем $a^2$ и $-3a$ (или прибавим $3a$) из обеих частей неравенства: $a^2 - 3a - 10 - a^2 + 3a > a^2 - 3a - 40 - a^2 + 3a$ $-10 > -40$ Мы получили неравенство $-10 > -40$, которое всегда верное, ведь число $-10$ находится правее числа $-40$ на числовой прямой! Значит, исходное неравенство $(a - 5)(a + 2) > (a + 5)(a - 8)$ тоже всегда верное при любом значении $a$. **Все неравенства доказаны.**