Выполни действие с дробями: $\frac{3}{7} \cdot \frac{5}{11}$

Привет! Давай разберёмся с этой контрольной работой. Будем решать задания по порядку. **1. Выполните действие:** а) Чтобы умножить дроби, нужно умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель: $$\frac{3}{7} \cdot \frac{5}{11} = \frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 11} = \frac{15}{77}$$ **Ответ: $\frac{15}{77}$** б) Здесь тоже умножаем дроби, но можно сначала сократить числа, чтобы было легче считать. Смотри, 6 и 18 делятся на 6, а 5 и 25 делятся на 5: $$\frac{6}{25} \cdot \frac{5}{18} = \frac{6^{\overset{1}{\phantom{6}}}}{25^{\underset{5}{\phantom{25}}}} \cdot \frac{5^{\overset{1}{\phantom{5}}}}{18^{\underset{3}{\phantom{18}}}} = \frac{1 \cdot 1}{5 \cdot 3} = \frac{1}{15}$$ **Ответ: $\frac{1}{15}$** в) Сначала превратим смешанные дроби в неправильные. Для этого целое число умножаем на знаменатель и прибавляем числитель, а знаменатель оставляем тем же: $$3\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{15 + 3}{5} = \frac{18}{5}$$ $$1\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{9 + 1}{9} = \frac{10}{9}$$ Теперь умножаем эти неправильные дроби, сокращая там, где это возможно: $$\frac{18}{5} \cdot \frac{10}{9} = \frac{18^{\overset{2}{\phantom{18}}}}{5^{\underset{1}{\phantom{5}}}} \cdot \frac{10^{\overset{2}{\phantom{10}}}}{9^{\underset{1}{\phantom{9}}}} = \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 1} = \frac{4}{1} = 4$$ **Ответ: 4** г) Опять превращаем смешанную дробь в неправильную, а целое число 14 можно представить как $\frac{14}{1}$: $$1\frac{3}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{7 + 3}{7} = \frac{10}{7}$$ Теперь умножаем: $$\frac{10}{7} \cdot 14 = \frac{10}{7} \cdot \frac{14}{1} = \frac{10 \cdot 14^{\overset{2}{\phantom{14}}}}{7^{\underset{1}{\phantom{7}}} \cdot 1} = \frac{10 \cdot 2}{1} = 20$$ **Ответ: 20** д) Чтобы разделить дроби, нужно первую дробь умножить на "перевёрнутую" вторую дробь (то есть поменять местами числитель и знаменатель): $$\frac{5}{9} : \frac{10}{27} = \frac{5}{9} \cdot \frac{27}{10}$$ Теперь сокращаем и умножаем: $$\frac{5^{\overset{1}{\phantom{5}}}}{9^{\underset{1}{\phantom{9}}}} \cdot \frac{27^{\overset{3}{\phantom{27}}}}{10^{\underset{2}{\phantom{10}}}} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{3}{2}$$ Эту неправильную дробь можно записать как смешанную: $\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$ **Ответ: $1\frac{1}{2}$** е) Целое число 6 можно записать как дробь $\frac{6}{1}$. Делим так же, как и в предыдущем пункте: $$\frac{12}{13} : 6 = \frac{12}{13} : \frac{6}{1} = \frac{12}{13} \cdot \frac{1}{6}$$ Сокращаем и умножаем: $$\frac{12^{\overset{2}{\phantom{12}}}}{13} \cdot \frac{1}{6^{\underset{1}{\phantom{6}}}} = \frac{2 \cdot 1}{13 \cdot 1} = \frac{2}{13}$$ **Ответ: $\frac{2}{13}$** **2. Решите уравнение** $$y - \frac{7}{12}y = 4\frac{1}{6}$$ Сначала упростим левую часть уравнения. Представь, что $y$ — это $1y$ или $\frac{12}{12}y$: $$\frac{12}{12}y - \frac{7}{12}y = \frac{12 - 7}{12}y = \frac{5}{12}y$$ Теперь переведём правую часть, смешанную дробь, в неправильную: $$4\frac{1}{6} = \frac{4 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{24 + 1}{6} = \frac{25}{6}$$ Получаем уравнение: $$\frac{5}{12}y = \frac{25}{6}$$ Чтобы найти $y$, нужно разделить правую часть на дробь перед $y$. А деление, как мы уже знаем, это умножение на перевёрнутую дробь: $$y = \frac{25}{6} : \frac{5}{12} = \frac{25}{6} \cdot \frac{12}{5}$$ Сокращаем и умножаем: $$y = \frac{25^{\overset{5}{\phantom{25}}}}{6^{\underset{1}{\phantom{6}}}} \cdot \frac{12^{\overset{2}{\phantom{12}}}}{5^{\underset{1}{\phantom{5}}}} = \frac{5 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 10$$ **Ответ: $y = 10$** **3. За $\frac{5}{9}$ кг конфет заплатили 150 р. Сколько стоит 1 кг таких конфет?** Чтобы узнать, сколько стоит 1 кг конфет, нужно общую стоимость (150 р.) разделить на количество конфет в килограммах ($\frac{5}{9}$ кг): $$150 : \frac{5}{9} = 150 \cdot \frac{9}{5}$$ Теперь сокращаем 150 и 5: $$150^{\overset{30}{\phantom{150}}} \cdot \frac{9}{5^{\underset{1}{\phantom{5}}}} = 30 \cdot 9 = 270$$ Значит, 1 кг конфет стоит 270 рублей. **Ответ: 270 р.** **4. В один пакет насыпали $2\frac{4}{5}$ кг пшена, а в другой $\frac{6}{7}$ кг этого количества. На сколько килограммов пшена меньше насыпали во второй пакет, чем в первый?** Сначала нужно узнать, сколько пшена насыпали во второй пакет. Сказано, что это $\frac{6}{7}$ от количества в первом пакете ($2\frac{4}{5}$ кг). 1. Переведём $2\frac{4}{5}$ в неправильную дробь: $$2\frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{10 + 4}{5} = \frac{14}{5}$$ 2. Найдём, сколько пшена во втором пакете, умножив количество пшена в первом пакете на $\frac{6}{7}$: $$\frac{14}{5} \cdot \frac{6}{7} = \frac{14^{\overset{2}{\phantom{14}}}}{5} \cdot \frac{6}{7^{\underset{1}{\phantom{7}}}} = \frac{2 \cdot 6}{5 \cdot 1} = \frac{12}{5}$$ Так как нам нужно будет сравнивать, оставим в виде неправильной дроби или переведём в смешанную: $2\frac{2}{5}$ кг. Это столько пшена во втором пакете. 3. Теперь узнаем, на сколько килограммов пшена меньше во втором пакете, чем в первом. Для этого вычтем из количества пшена в первом пакете количество пшена во втором пакете: $$2\frac{4}{5} - \frac{12}{5}$$ У нас уже есть $\frac{14}{5}$ кг для первого пакета: $$\frac{14}{5} - \frac{12}{5} = \frac{14 - 12}{5} = \frac{2}{5}$$ Во второй пакет насыпали на $\frac{2}{5}$ кг пшена меньше. **Ответ: на $\frac{2}{5}$ кг**