Запиши в виде десятичной дроби 2/3.

Привет! Давай разберемся с этими заданиями по математике. ### Задание 1. Записать в виде десятичной дроби: 1) Чтобы обычную дробь $\frac{2}{3}$ записать как десятичную, нужно просто разделить 2 на 3. Получится бесконечная десятичная дробь: $$\frac{2}{3} \approx 0,666... = 0,(6)$$ 2) Разделим 8 на 11: $$\frac{8}{11} \approx 0,7272... = 0,(72)$$ 3) Разделим 3 на 5. Здесь получится конечная десятичная дробь: $$\frac{3}{5} = 0,6$$ 4) Разделим -3 на 4. Здесь тоже конечная десятичная дробь: $$-\frac{3}{4} = -0,75$$ 5) Сначала переведем смешанное число $-8\frac{2}{7}$ в неправильную дробь. Это будет $-\frac{8 \cdot 7 + 2}{7} = -\frac{56 + 2}{7} = -\frac{58}{7}$. Теперь разделим 58 на 7: $$-\frac{58}{7} \approx -8,2857...$$ Здесь бесконечная дробь без явного периода, поэтому оставим её в виде округленного значения или просто как дробь. **Допущение**: Для 5) принимаем, что нужно округлить до двух-трех знаков после запятой, если не указано иное, но так как обычно просят точно, то оставим в виде дроби или с многоточием. 6) Разделим 13 на 99: $$\frac{13}{99} \approx 0,1313... = 0,(13)$$ ### Задание 2. Выполнить действия и записать результат в виде десятичной дроби: 1) $\frac{2}{11} + \frac{1}{9}$ Сначала найдем общий знаменатель для 11 и 9. Это $11 \cdot 9 = 99$. $$\frac{2}{11} + \frac{1}{9} = \frac{2 \cdot 9}{11 \cdot 9} + \frac{1 \cdot 11}{9 \cdot 11} = \frac{18}{99} + \frac{11}{99} = \frac{18+11}{99} = \frac{29}{99}$$ Теперь переведем в десятичную дробь, разделив 29 на 99: $$\frac{29}{99} \approx 0,2929... = 0,(29)$$ 2) $\frac{8}{13} + \frac{2}{3}$ Общий знаменатель для 13 и 3 — это $13 \cdot 3 = 39$. $$\frac{8}{13} + \frac{2}{3} = \frac{8 \cdot 3}{13 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 13}{3 \cdot 13} = \frac{24}{39} + \frac{26}{39} = \frac{24+26}{39} = \frac{50}{39}$$ Теперь переведем в десятичную дробь, разделив 50 на 39: $$\frac{50}{39} \approx 1,28205... = 1,(282051)$$ 3) $\frac{1}{3} + 1,25$ Переведем 1,25 в обыкновенную дробь: $1,25 = 1\frac{25}{100} = 1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$. Теперь сложим дроби: $$\frac{1}{3} + \frac{5}{4}$$ Общий знаменатель для 3 и 4 — это $3 \cdot 4 = 12$. $$\frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{5 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{4}{12} + \frac{15}{12} = \frac{4+15}{12} = \frac{19}{12}$$ Переведем в десятичную дробь, разделив 19 на 12: $$\frac{19}{12} \approx 1,5833... = 1,58(3)$$ 4) $\frac{1}{6} + 0,33$ Переведем 0,33 в обыкновенную дробь: $0,33 = \frac{33}{100}$. Теперь сложим дроби: $$\frac{1}{6} + \frac{33}{100}$$ Общий знаменатель для 6 и 100. Наименьшее общее кратное (НОК) для 6 и 100 — это 300. $$6 = 2 \cdot 3$$ $$100 = 2^2 \cdot 5^2$$ $$НОК(6, 100) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 4 \cdot 3 \cdot 25 = 300$$ $$\frac{1 \cdot 50}{6 \cdot 50} + \frac{33 \cdot 3}{100 \cdot 3} = \frac{50}{300} + \frac{99}{300} = \frac{50+99}{300} = \frac{149}{300}$$ Переведем в десятичную дробь, разделив 149 на 300: $$\frac{149}{300} \approx 0,4966... = 0,49(6)$$ 5) $\frac{3}{14} \cdot 1,05$ Переведем 1,05 в обыкновенную дробь: $1,05 = 1\frac{5}{100} = 1\frac{1}{20} = \frac{21}{20}$. Теперь умножим дроби: $$\frac{3}{14} \cdot \frac{21}{20} = \frac{3 \cdot 21}{14 \cdot 20}$$ Можно сократить 21 и 14 на 7: $21 = 3 \cdot 7$, $14 = 2 \cdot 7$. $$ = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 20} = \frac{9}{40}$$ Переведем в десятичную дробь, разделив 9 на 40: $$\frac{9}{40} = 0,225$$ 6) $7 \cdot 1,7 - \frac{7}{9}$ Сначала умножим $7 \cdot 1,7 = 11,9$. Переведем 11,9 в обыкновенную дробь: $11,9 = \frac{119}{10}$. Теперь вычтем: $$\frac{119}{10} - \frac{7}{9}$$ Общий знаменатель для 10 и 9 — это $10 \cdot 9 = 90$. $$\frac{119 \cdot 9}{10 \cdot 9} - \frac{7 \cdot 10}{9 \cdot 10} = \frac{1071}{90} - \frac{70}{90} = \frac{1071-70}{90} = \frac{1001}{90}$$ Переведем в десятичную дробь, разделив 1001 на 90: $$\frac{1001}{90} \approx 11,122... = 11,1(2)$$ ### Задание 3. Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь: 1) $0,(6)$ Пусть $x = 0,(6)$. Тогда $10x = 6,(6)$. Вычтем из второго уравнения первое: $$10x - x = 6,(6) - 0,(6)$$ $$9x = 6$$ $$x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$ 2) $1,(55)$ Пусть $x = 1,(55)$. Это значит $x = 1,5555...$ Тогда $100x = 155,5555...$ Вычтем из второго уравнения первое: $$100x - x = 155,55... - 1,55...$$ $$99x = 154$$ $$x = \frac{154}{99}$$ Можно сократить на 11: $$x = \frac{154 \div 11}{99 \div 11} = \frac{14}{9}$$ 3) $0,1(2)$ Пусть $x = 0,1(2) = 0,1222...$ Умножим на 10, чтобы период оказался сразу после запятой: $$10x = 1,222...$$ Умножим на 100, чтобы один период оказался перед запятой: $$100x = 12,222...$$ Вычтем из $100x$ значение $10x$: $$100x - 10x = 12,222... - 1,222...$$ $$90x = 11$$ $$x = \frac{11}{90}$$ 4) $-0,(8)$ Пусть $x = -0,(8)$. Тогда $10x = -8,(8)$. $$10x - x = -8,(8) - (-0,(8))$$ $$9x = -8$$ $$x = -\frac{8}{9}$$ 5) $-3,(27)$ Пусть $x = -3,(27) = -3,2727...$ Тогда $100x = -327,2727...$ $$100x - x = -327,27... - (-3,27...)$$ $$99x = -324$$ $$x = -\frac{324}{99}$$ Можно сократить на 9: $$x = -\frac{324 \div 9}{99 \div 9} = -\frac{36}{11}$$ 6) $-2,3(82)$ Пусть $x = -2,3(82) = -2,38282...$ Умножим на 10, чтобы период оказался сразу после запятой: $$10x = -23,8282...$$ Умножим на 1000, чтобы один период оказался перед запятой: $$1000x = -2382,8282...$$ Вычтем из $1000x$ значение $10x$: $$1000x - 10x = -2382,8282... - (-23,8282...)$$ $$990x = -2382 + 23$$ $$990x = -2359$$ $$x = -\frac{2359}{990}$$ ### Задание 4. Вычислить: 1) $(20,88 : 18 + 45 : 0,36) : (19,59 + 11,95)$; Сначала посчитаем выражения в скобках. **Первая скобка:** $20,88 : 18 = 1,16$ $$\begin{array}{r} 20,88 \lvert \! \underline{18} \\ \underline{18} \quad \quad 1,16 \\ \quad 28 \\ \quad \underline{18} \\ \quad 108 \\ \quad \underline{108} \\ \quad \quad 0 \end{array}$$ $45 : 0,36$. Чтобы разделить на десятичную дробь, перенесем запятую в делителе и делимом на столько знаков вправо, чтобы делитель стал целым числом. Здесь на 2 знака: $45 : 0,36 = 4500 : 36 = 125$ $$\begin{array}{r} 4500 \lvert \! \underline{36} \\ \underline{36} \quad \quad 125 \\ \quad 90 \\ \quad \underline{72} \\ \quad 180 \\ \quad \underline{180} \\ \quad \quad 0 \end{array}$$ Теперь сложим результаты первой скобки: $1,16 + 125 = 126,16$ **Вторая скобка:** $19,59 + 11,95$ $$\begin{array}{r} 19,59 \\ +11,95 \\ \hline 31,54 \end{array}$$ Теперь выполним деление результатов: $126,16 : 31,54$ Перенесем запятую на 2 знака вправо в обоих числах: $12616 : 3154$ $$\begin{array}{r} 12616 \lvert \! \underline{3154} \\ \underline{12616} \quad 4 \\ \quad \quad 0 \end{array}$$ **Ответ:** $4$ 2) $\frac{7}{36} \cdot 9 + 8 \cdot \frac{11}{32} + \frac{9}{10} \cdot \frac{5}{18}$ Сначала выполним умножение: **Первое умножение:** $\frac{7}{36} \cdot 9$ $$= \frac{7 \cdot 9}{36}$$ Сократим 9 и 36 на 9: $$= \frac{7}{4}$$ **Второе умножение:** $8 \cdot \frac{11}{32}$ $$= \frac{8 \cdot 11}{32}$$ Сократим 8 и 32 на 8: $$= \frac{11}{4}$$ **Третье умножение:** $\frac{9}{10} \cdot \frac{5}{18}$ $$= \frac{9 \cdot 5}{10 \cdot 18}$$ Сократим 9 и 18 на 9, а 5 и 10 на 5: $$= \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$$ Теперь сложим полученные дроби: $$\frac{7}{4} + \frac{11}{4} + \frac{1}{4} = \frac{7+11+1}{4} = \frac{19}{4}$$ Переведем в десятичную дробь: $$\frac{19}{4} = 4,75$$ **Ответ:** $4,75$ ### Задание 5. Вычислить: 1) $(\frac{3}{25} + 0,24) : 2,15 + (5,1625 - 2\frac{3}{16}) \cdot \frac{2}{5}$ Давайте переведем все десятичные дроби в обыкновенные и наоборот, чтобы было удобнее считать. Или, наоборот, все в десятичные. **Допущение**: Так как есть смешанные дроби и обыкновенные, удобнее все перевести в десятичные для удобства счета. $0,24$ $2,15$ $5,1625$ $2\frac{3}{16} = 2 + \frac{3}{16} = 2 + 0,1875 = 2,1875$ $\frac{3}{25} = 0,12$ $\frac{2}{5} = 0,4$ Теперь подставляем эти значения в выражение: $(0,12 + 0,24) : 2,15 + (5,1625 - 2,1875) \cdot 0,4$ **Первая скобка:** $0,12 + 0,24 = 0,36$ **Вторая скобка:** $5,1625 - 2,1875$ $$\begin{array}{r} 5,1625 \\ -2,1875 \\ \hline 2,9750 \end{array}$$ Подставляем результаты обратно: $0,36 : 2,15 + 2,975 \cdot 0,4$ **Первое действие: деление** $0,36 : 2,15$. Это будет довольно длинная бесконечная десятичная дробь. Чтобы избежать этого, попробуем оставить в обыкновенных дробях, если это возможно. Давайте попробуем перевести все в обыкновенные дроби: $\frac{3}{25} + \frac{24}{100} = \frac{3}{25} + \frac{6}{25} = \frac{9}{25}$ $2,15 = \frac{215}{100} = \frac{43}{20}$ $5,1625 = 5\frac{1625}{10000} = 5\frac{13}{80} = \frac{413}{80}$ $2\frac{3}{16} = \frac{35}{16}$ $\frac{2}{5}$ Теперь перепишем выражение с обыкновенными дробями: $(\frac{9}{25}) : (\frac{43}{20}) + (\frac{413}{80} - \frac{35}{16}) \cdot (\frac{2}{5})$ **Первая часть: $(\frac{9}{25}) : (\frac{43}{20})$** $$ = \frac{9}{25} \cdot \frac{20}{43} = \frac{9 \cdot 20}{25 \cdot 43}$$ Сократим 20 и 25 на 5: $$ = \frac{9 \cdot 4}{5 \cdot 43} = \frac{36}{215}$$ **Вторая часть: $(5,1625 - 2\frac{3}{16})$** Сначала вычтем $5,1625 - 2,1875 = 2,975$. Теперь переведем $2,975$ в дробь: $2,975 = 2\frac{975}{1000} = 2\frac{39}{40} = \frac{119}{40}$ Теперь умножим $\frac{119}{40} \cdot \frac{2}{5}$: $$ = \frac{119 \cdot 2}{40 \cdot 5}$$ Сократим 2 и 40 на 2: $$ = \frac{119}{20 \cdot 5} = \frac{119}{100}$$ Теперь сложим две полученные дроби: $$\frac{36}{215} + \frac{119}{100}$$ Это очень сложное сложение с большими числами. Скорее всего, предполагается считать в десятичных дробях и округлять. Возвращаемся к десятичным дробям: $0,36 : 2,15 + 2,975 \cdot 0,4$ $0,36 : 2,15 \approx 0,16744...$ $2,975 \cdot 0,4 = 1,19$ Сложим полученные числа: $0,16744 + 1,19 = 1,35744$ Если округлить до сотых, то будет $1,36$. **Допущение**: Округляем до двух знаков после запятой, если не указана точность. **Ответ:** $\approx 1,36$ 2) $0,364 : \frac{7}{25} + \frac{5}{16} : 0,125 + 2\frac{1}{2} - 0,8$ Снова переведем все в десятичные дроби, где это удобно: $0,364$ $\frac{7}{25} = 0,28$ $\frac{5}{16} = 0,3125$ $0,125$ $2\frac{1}{2} = 2,5$ $0,8$ Подставляем эти значения в выражение: $0,364 : 0,28 + 0,3125 : 0,125 + 2,5 - 0,8$ **Первое деление:** $0,364 : 0,28$. Перенесем запятую на 2 знака: $36,4 : 28 = 1,3$ $$\begin{array}{r} 36,4 \lvert \! \underline{28} \\ \underline{28} \quad \quad 1,3 \\ \quad 84 \\ \quad \underline{84} \\ \quad \quad 0 \end{array}$$ **Второе деление:** $0,3125 : 0,125$. Перенесем запятую на 3 знака: $312,5 : 125 = 2,5$ $$\begin{array}{r} 312,5 \lvert \! \underline{125} \\ \underline{250} \quad \quad 2,5 \\ \quad 625 \\ \quad \underline{625} \\ \quad \quad 0 \end{array}$$ Теперь подставляем результаты обратно и выполняем сложение и вычитание: $1,3 + 2,5 + 2,5 - 0,8$ $1,3 + 2,5 = 3,8$ $3,8 + 2,5 = 6,3$ $6,3 - 0,8 = 5,5$ **Ответ:** $5,5$