Найди значение выражения $\sqrt{6 \cdot 40 \cdot \sqrt{90}}$

Привет! Давай решим это выражение вместе. Оно выглядит сложным, но на самом деле просто нужно помнить свойства квадратных корней. Задание: Найти значение выражения $\sqrt{6 \cdot 40 \cdot \sqrt{90}}$ Для начала, давай вспомним, что $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$. А ещё, если у нас есть корень из числа, которое можно разложить на множители, например $\sqrt{36} = 6$, потому что $36 = 6 \cdot 6$. 1. Сначала посчитаем то, что под первым корнем: $6 \cdot 40$. $$6 \cdot 40 = 240$$ 2. Теперь наше выражение выглядит так: $\sqrt{240 \cdot \sqrt{90}}$. 3. Обрати внимание на $\sqrt{90}$. Мы можем разложить 90 на множители: $90 = 9 \cdot 10$. А $\sqrt{9}$ - это 3! $$\sqrt{90} = \sqrt{9 \cdot 10} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{10} = 3\sqrt{10}$$ 4. Теперь подставим это обратно в наше выражение: $$\sqrt{240 \cdot 3\sqrt{10}}$$ 5. Умножим $240 \cdot 3$: $$240 \cdot 3 = 720$$ 6. Теперь у нас получилось: $\sqrt{720\sqrt{10}}$. Это выражение уже похоже на то, что обычно просят в таких задачах. Чтобы его упростить, нам нужно внести $\sqrt{10}$ под внешний корень. Чтобы это сделать, мы должны $\sqrt{10}$ возвести в квадрат, так как оно уже стоит под корнем, а потом умножить на $720$. $$\sqrt{720 \cdot \sqrt{10}} = \sqrt{\sqrt{720^2 \cdot 10}} = \sqrt{\sqrt{518400 \cdot 10}} = \sqrt{\sqrt{5184000}}$$ Хотя это и правильный путь для внесения корня, такой ответ кажется слишком громоздким для школьного задания. Давай перепроверим условие. Скорее всего, выражение подразумевает $\sqrt{6 \cdot 40} \cdot \sqrt{90}$ (то есть два отдельных корня, умножающихся друг на друга), а не $\sqrt{6 \cdot 40 \cdot \sqrt{90}}$ (корень внутри корня). **Допущение: выражение записано как произведение двух отдельных квадратных корней: $\sqrt{6 \cdot 40} \cdot \sqrt{90}$** Если это так, то решение будет намного проще! 1. Сначала посчитаем первый корень: $\sqrt{6 \cdot 40}$. $$\sqrt{6 \cdot 40} = \sqrt{240}$$ 2. Теперь упростим $\sqrt{240}$. Мы можем разложить 240 на множители, чтобы найти полные квадраты: $$240 = 24 \cdot 10 = (4 \cdot 6) \cdot 10 = 4 \cdot 60 = 4 \cdot (4 \cdot 15) = 16 \cdot 15$$ Значит, $\sqrt{240} = \sqrt{16 \cdot 15} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{15} = 4\sqrt{15}$. 3. Теперь упростим второй корень: $\sqrt{90}$. $$90 = 9 \cdot 10$$ Значит, $\sqrt{90} = \sqrt{9 \cdot 10} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{10} = 3\sqrt{10}$. 4. Теперь умножим эти два упрощенных корня: $$4\sqrt{15} \cdot 3\sqrt{10}$$ 5. Умножаем числа отдельно, а корни отдельно: $$(4 \cdot 3) \cdot (\sqrt{15} \cdot \sqrt{10})$$ $$12 \cdot \sqrt{15 \cdot 10}$$ $$12 \cdot \sqrt{150}$$ 6. Упростим $\sqrt{150}$. $$150 = 25 \cdot 6$$ Значит, $\sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{6} = 5\sqrt{6}$. 7. Подставим это обратно: $$12 \cdot 5\sqrt{6}$$ $$12 \cdot 5 = 60$$ **Ответ: $60\sqrt{6}$**