Привет! Давай разберёмся с этими задачками по алгебре. Всё объясню по шагам, чтобы было понятно.
### 1. Решить систему уравнений:
$$\begin{cases} 4x+y=3 \ 6x-2y=1 \ \end{cases}$$
Мы можем решить эту систему методом сложения. Для этого умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$$2 \cdot (4x+y) = 2 \cdot 3$$
$$8x+2y=6$$
Теперь у нас есть новая система:
$$\begin{cases} 8x+2y=6 \ 6x-2y=1 \ \end{cases}$$
Сложим два уравнения:
$$(8x+2y) + (6x-2y) = 6+1$$
$$8x+6x+2y-2y=7$$
$$14x=7$$
$$x = \frac{7}{14}$$
$$x = \frac{1}{2}$$
Теперь подставим значение $x=\frac{1}{2}$ в первое уравнение системы $4x+y=3$ и найдём $y$:
$$4 \cdot \frac{1}{2} + y = 3$$
$$2 + y = 3$$
$$y = 3-2$$
$$y = 1$$
**Ответ: $x = \frac{1}{2}$, $y = 1$**
### 2. Банк продал предпринимателю г-ну Разину 8 облигаций по 2000 р. и 3000 р. Сколько облигаций каждого номинала купил г-н Разин, если за все облигации было заплачено 19000 р.?
Пусть $x$ — количество облигаций по 2000 р., а $y$ — количество облигаций по 3000 р.
Всего было куплено 8 облигаций, значит:
$$x+y=8$$
Общая сумма, заплаченная за облигации, составляет 19000 р.:
$$2000x + 3000y = 19000$$
У нас получилась система уравнений:
$$\begin{cases} x+y=8 \ 2000x+3000y=19000 \ \end{cases}$$
Из первого уравнения выразим $x$: $x=8-y$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$$2000(8-y) + 3000y = 19000$$
Раскроем скобки:
$$16000 - 2000y + 3000y = 19000$$
Приведём подобные слагаемые:
$$16000 + 1000y = 19000$$
Вычтем 16000 из обеих частей уравнения:
$$1000y = 19000 - 16000$$
$$1000y = 3000$$
Разделим обе части на 1000:
$$y = \frac{3000}{1000}$$
$$y = 3$$
Теперь найдём $x$, подставив $y=3$ в уравнение $x=8-y$:
$$x = 8-3$$
$$x = 5$$
Значит, г-н Разин купил 5 облигаций по 2000 р. и 3 облигации по 3000 р.
**Ответ: 5 облигаций по 2000 р. и 3 облигации по 3000 р.**
### 3. Решить систему уравнений:
$$\begin{cases} 2(3x+2y)+9=4x+21 \ 2x+10=3-(6x+5y) \ \end{cases}$$
Сначала упростим каждое уравнение.
Первое уравнение:
$$2(3x+2y)+9=4x+21$$
Раскроем скобки:
$$6x+4y+9=4x+21$$
Перенесём все члены с $x$ и $y$ в левую часть, а числа — в правую:
$$6x-4x+4y=21-9$$
$$2x+4y=12$$
Разделим всё уравнение на 2, чтобы упростить:
$$x+2y=6$$ (Это наше первое упрощённое уравнение)
Второе уравнение:
$$2x+10=3-(6x+5y)$$
Раскроем скобки, не забывая поменять знаки после минуса:
$$2x+10=3-6x-5y$$
Перенесём все члены с $x$ и $y$ в левую часть, а числа — в правую:
$$2x+6x+5y=3-10$$
$$8x+5y=-7$$ (Это наше второе упрощённое уравнение)
Теперь у нас есть новая, более простая система уравнений:
$$\begin{cases} x+2y=6 \ 8x+5y=-7 \ \end{cases}$$
Из первого уравнения выразим $x$: $x=6-2y$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$$8(6-2y)+5y=-7$$
Раскроем скобки:
$$48-16y+5y=-7$$
Приведём подобные слагаемые:
$$48-11y=-7$$
Перенесём 48 в правую часть:
$$-11y=-7-48$$
$$-11y=-55$$
Разделим на -11:
$$y = \frac{-55}{-11}$$
$$y=5$$
Теперь найдём $x$, подставив $y=5$ в уравнение $x=6-2y$:
$$x=6-2 \cdot 5$$
$$x=6-10$$
$$x=-4$$
**Ответ: $x = -4$, $y = 5$**
### 4. Прямая $y=kx+b$ проходит через точки А(3; 8) и В(-4; 1). Напишите уравнение этой прямой.
Раз прямая проходит через точки A(3; 8) и B(-4; 1), это значит, что при подстановке координат этих точек в уравнение прямой $y=kx+b$ мы получим верные равенства.
Для точки A(3; 8):
$$8 = k \cdot 3 + b$$
$$3k+b=8$$ (Это первое уравнение)
Для точки B(-4; 1):
$$1 = k \cdot (-4) + b$$
$$-4k+b=1$$ (Это второе уравнение)
У нас получилась система уравнений:
$$\begin{cases} 3k+b=8 \ -4k+b=1 \ \end{cases}$$
Вычтем второе уравнение из первого, чтобы избавиться от $b$:
$$(3k+b) - (-4k+b) = 8-1$$
$$3k+b+4k-b=7$$
$$7k=7$$
$$k=\frac{7}{7}$$
$$k=1$$
Теперь подставим $k=1$ в первое уравнение $3k+b=8$:
$$3 \cdot 1 + b = 8$$
$$3+b=8$$
$$b=8-3$$
$$b=5$$
Мы нашли $k=1$ и $b=5$. Теперь подставим эти значения в уравнение прямой $y=kx+b$.
**Ответ: Уравнение прямой: $y=x+5$**
### 5. Выясните, имеет ли решение система:
$$\begin{cases} 3x-2y=7 \ 6x-4y=1 \ \end{cases}$$
Давай посмотрим на коэффициенты при $x$ и $y$ в этих уравнениях.
В первом уравнении: $3x-2y=7$
Во втором уравнении: $6x-4y=1$
Заметим, что если мы умножим первое уравнение на 2, то получим:
$$2 \cdot (3x-2y) = 2 \cdot 7$$
$$6x-4y=14$$
Теперь сравним это уравнение с исходным вторым уравнением системы:
$$6x-4y=14$$ (Это первое уравнение, умноженное на 2)
$$6x-4y=1$$ (Это второе исходное уравнение)
Мы получили, что $6x-4y$ должно быть равно 14 и одновременно $6x-4y$ должно быть равно 1. Это невозможно, потому что $14 \neq 1$.
Такая система уравнений не имеет решения. Это означает, что прямые, которые описывают эти уравнения, параллельны и никогда не пересекаются.
**Ответ: Система уравнений не имеет решения.**
