Вычисли дроби: $\frac{5}{2n-3} + \frac{2}{2n+3} - \frac{n-1}{9-4n^2}$

Привет! Давай разберемся с этими дробями. Они выглядят немного устрашающе, но на самом деле мы просто будем приводить их к общему знаменателю. Для этого нам нужно будет разложить некоторые знаменатели на множители. ### Задание 1) $$\frac{5}{2n-3} + \frac{2}{2n+3} - \frac{n-1}{9-4n^2}$$ Сначала заметим, что $9-4n^2$ можно разложить как $3^2 - (2n)^2 = (3-2n)(3+2n)$. Также видно, что $(3-2n)$ это то же самое, что $-(2n-3)$. Тогда наша дробь станет: $$\frac{5}{2n-3} + \frac{2}{2n+3} - \frac{n-1}{-(2n-3)(2n+3)}$$ Минус в знаменателе можно вынести перед дробью, и тогда будет плюс: $$\frac{5}{2n-3} + \frac{2}{2n+3} + \frac{n-1}{(2n-3)(2n+3)}$$ Теперь общий знаменатель будет $(2n-3)(2n+3)$. Первую дробь умножим на $(2n+3)$, вторую на $(2n-3)$: $$\frac{5(2n+3)}{(2n-3)(2n+3)} + \frac{2(2n-3)}{(2n-3)(2n+3)} + \frac{n-1}{(2n-3)(2n+3)}$$ Объединяем все в одну дробь: $$\frac{5(2n+3) + 2(2n-3) + (n-1)}{(2n-3)(2n+3)}$$ Раскрываем скобки в числителе: $$\frac{10n+15 + 4n-6 + n-1}{(2n-3)(2n+3)}$$ Складываем все похожие слагаемые в числителе: $$\frac{(10n+4n+n) + (15-6-1)}{(2n-3)(2n+3)}$$ $$\frac{15n + 8}{(2n-3)(2n+3)}$$ **Ответ:** $$\frac{15n + 8}{(2n-3)(2n+3)}$$ или $$\frac{15n + 8}{4n^2-9}$$ ### Задание 2) $$\frac{1}{3m-2} - \frac{4}{2+3m} - \frac{3m-5}{4-9m^2}$$ Сначала заметим, что $4-9m^2$ можно разложить как $2^2 - (3m)^2 = (2-3m)(2+3m)$. Также видно, что $(2-3m)$ это то же самое, что $-(3m-2)$. Тогда наша дробь станет: $$\frac{1}{3m-2} - \frac{4}{3m+2} - \frac{3m-5}{-(3m-2)(3m+2)}$$ Минус в знаменателе можно вынести перед дробью, и тогда будет плюс: $$\frac{1}{3m-2} - \frac{4}{3m+2} + \frac{3m-5}{(3m-2)(3m+2)}$$ Теперь общий знаменатель будет $(3m-2)(3m+2)$. Первую дробь умножим на $(3m+2)$, вторую на $(3m-2)$: $$\frac{1(3m+2)}{(3m-2)(3m+2)} - \frac{4(3m-2)}{(3m-2)(3m+2)} + \frac{3m-5}{(3m-2)(3m+2)}$$ Объединяем все в одну дробь: $$\frac{(3m+2) - 4(3m-2) + (3m-5)}{(3m-2)(3m+2)}$$ Раскрываем скобки в числителе: $$\frac{3m+2 - 12m+8 + 3m-5}{(3m-2)(3m+2)}$$ Складываем все похожие слагаемые в числителе: $$\frac{(3m-12m+3m) + (2+8-5)}{(3m-2)(3m+2)}$$ $$\frac{-6m + 5}{(3m-2)(3m+2)}$$ **Ответ:** $$\frac{5-6m}{(3m-2)(3m+2)}$$ или $$\frac{5-6m}{9m^2-4}$$ ### Задание 3) $$\frac{1+a}{a-3} - \frac{1-2a}{3+a} - \frac{a(1-a)}{9-a^2}$$ Сначала заметим, что $9-a^2$ можно разложить как $3^2 - a^2 = (3-a)(3+a)$. Также видно, что $(3-a)$ это то же самое, что $-(a-3)$. Тогда наша дробь станет: $$\frac{1+a}{a-3} - \frac{1-2a}{a+3} - \frac{a(1-a)}{-(a-3)(a+3)}$$ Минус в знаменателе можно вынести перед дробью, и тогда будет плюс: $$\frac{1+a}{a-3} - \frac{1-2a}{a+3} + \frac{a(1-a)}{(a-3)(a+3)}$$ Теперь общий знаменатель будет $(a-3)(a+3)$. Первую дробь умножим на $(a+3)$, вторую на $(a-3)$: $$\frac{(1+a)(a+3)}{(a-3)(a+3)} - \frac{(1-2a)(a-3)}{(a-3)(a+3)} + \frac{a(1-a)}{(a-3)(a+3)}$$ Объединяем все в одну дробь: $$\frac{(1+a)(a+3) - (1-2a)(a-3) + a(1-a)}{(a-3)(a+3)}$$ Раскрываем скобки в числителе. Будь внимателен со знаками! $(1+a)(a+3) = a + 3 + a^2 + 3a = a^2 + 4a + 3$ $(1-2a)(a-3) = a - 3 - 2a^2 + 6a = -2a^2 + 7a - 3$ $a(1-a) = a - a^2$ Подставляем это в числитель: $$\frac{(a^2 + 4a + 3) - (-2a^2 + 7a - 3) + (a - a^2)}{(a-3)(a+3)}$$ Раскрываем скобки, меняя знаки, где это нужно: $$\frac{a^2 + 4a + 3 + 2a^2 - 7a + 3 + a - a^2}{(a-3)(a+3)}$$ Складываем все похожие слагаемые в числителе: $$\frac{(a^2 + 2a^2 - a^2) + (4a - 7a + a) + (3 + 3)}{(a-3)(a+3)}$$ $$\frac{2a^2 - 2a + 6}{(a-3)(a+3)}$$ **Ответ:** $$\frac{2a^2 - 2a + 6}{(a-3)(a+3)}$$ или $$\frac{2a^2 - 2a + 6}{a^2-9}$$ ### Задание 4) $$\frac{(x-1)x}{x^2-25} - \frac{x-3}{x+5} + \frac{x-2}{5-x}$$ Сначала заметим, что $x^2-25$ можно разложить как $x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)$. Также видно, что $5-x$ это то же самое, что $-(x-5)$. Тогда наша дробь станет: $$\frac{x(x-1)}{(x-5)(x+5)} - \frac{x-3}{x+5} + \frac{x-2}{-(x-5)}$$ Минус в знаменателе последней дроби можно вынести перед дробью: $$\frac{x(x-1)}{(x-5)(x+5)} - \frac{x-3}{x+5} - \frac{x-2}{x-5}$$ Теперь общий знаменатель будет $(x-5)(x+5)$. Вторую дробь умножим на $(x-5)$, третью на $(x+5)$: $$\frac{x(x-1)}{(x-5)(x+5)} - \frac{(x-3)(x-5)}{(x-5)(x+5)} - \frac{(x-2)(x+5)}{(x-5)(x+5)}$$ Объединяем все в одну дробь: $$\frac{x(x-1) - (x-3)(x-5) - (x-2)(x+5)}{(x-5)(x+5)}$$ Раскрываем скобки в числителе. Будь очень внимателен со знаками! $x(x-1) = x^2 - x$ $(x-3)(x-5) = x^2 - 5x - 3x + 15 = x^2 - 8x + 15$ $(x-2)(x+5) = x^2 + 5x - 2x - 10 = x^2 + 3x - 10$ Подставляем это в числитель: $$\frac{(x^2 - x) - (x^2 - 8x + 15) - (x^2 + 3x - 10)}{(x-5)(x+5)}$$ Раскрываем скобки, меняя знаки, где это нужно: $$\frac{x^2 - x - x^2 + 8x - 15 - x^2 - 3x + 10}{(x-5)(x+5)}$$ Складываем все похожие слагаемые в числителе: $$\frac{(x^2 - x^2 - x^2) + (-x + 8x - 3x) + (-15 + 10)}{(x-5)(x+5)}$$ $$\frac{-x^2 + 4x - 5}{(x-5)(x+5)}$$ **Ответ:** $$\frac{-x^2 + 4x - 5}{(x-5)(x+5)}$$ или $$\frac{-x^2 + 4x - 5}{x^2-25}$$