Найди градиент функции $z = x^4y - y^4x + 4$ в точке $P(1,1)$

Привет! Давай найдём градиент этой функции. Сначала нужно найти частные производные по $x$ и по $y$. Это как будто ты смотришь, как быстро меняется функция, если двигаться только вдоль оси $x$ или только вдоль оси $y$. 1. Найдём частную производную по $x$ (считаем $y$ как обычное число): $$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^4y - y^4x + 4) = 4x^3y - y^4$$ 2. Найдём частную производную по $y$ (считаем $x$ как обычное число): $$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^4y - y^4x + 4) = x^4 - 4y^3x$$ Теперь у нас есть две части градиента. Градиент — это вектор, который показывает направление самого быстрого роста функции. Он записывается так: $$\nabla z = \left( \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} \right)$$ То есть: $$\nabla z = (4x^3y - y^4, x^4 - 4y^3x)$$ Нам нужно найти градиент в конкретной точке $P(1,1)$. Это значит, что вместо $x$ и $y$ в наши производные нужно подставить $1$. 1. Подставляем $x=1$ и $y=1$ в первую частную производную: $$4(1)^3(1) - (1)^4 = 4 \cdot 1 \cdot 1 - 1 = 4 - 1 = 3$$ 2. Подставляем $x=1$ и $y=1$ во вторую частную производную: $$(1)^4 - 4(1)^3(1) = 1 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$$ Значит, градиент в точке $P(1,1)$ будет равен: $$\nabla z(1,1) = (3, -3)$$ **Ответ:** Градиент функции в точке $P(1,1)$ равен $(3, -3)$.