Найди общее решение дифференциального уравнения: y' = y/x.

Привет! Давай разберемся с этим дифференциальным уравнением. У нас есть уравнение: $y' = \frac{y}{x}$ Это уравнение с разделяющимися переменными. Это значит, что мы можем собрать все $y$ с одной стороны, а все $x$ — с другой. 1. Сначала запишем $y'$ как $\frac{dy}{dx}$: $$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$$ 2. Теперь разделим переменные. Чтобы это сделать, умножим обе части на $dx$ и разделим на $y$ (предполагаем, что $y \neq 0$): $$\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$$ 3. Теперь, когда переменные разделены, мы можем проинтегрировать обе части. То есть, найти первообразную для каждой стороны: $$\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x}$$ 4. Интегралы от $\frac{1}{u}$ равны $\ln|u| + C$. Поэтому: $$\ln|y| = \ln|x| + C$$ Здесь $C$ — это константа интегрирования. 5. Чтобы избавиться от логарифма, нужно возвести $e$ в степень обеих частей уравнения: $$e^{\ln|y|} = e^{\ln|x| + C}$$ 6. Используя свойство степеней $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$, получаем: $$|y| = e^{\ln|x|} \cdot e^C$$ 7. Мы знаем, что $e^{\ln|x|} = |x|$. А $e^C$ — это просто какая-то другая константа, давай назовем её $K$. Поскольку $C$ может быть любым числом, $e^C$ будет всегда положительным. В итоге мы можем убрать модули, позволив $K$ быть любой константой (положительной или отрицательной, а также равной нулю, если мы учтём случай $y=0$): $$y = Kx$$ Сравнивая этот результат с предложенными вариантами, мы видим, что наш ответ совпадает с одним из них. **Правильный ответ: y = Cx**