Найди приращение $\Delta y$ и дифференциал функции $y = 5x + x^2$ при $x = 1$ и $\Delta x = 0,1$.

Привет! Давай разберёмся, как найти приращение функции и её дифференциал. Это не так сложно, как кажется. ### Что такое приращение функции? Приращение функции — это то, насколько изменится значение функции $y$, когда $x$ немного изменится. Обозначается оно как $\Delta y$. Чтобы его найти, нужно из значения функции в новой точке $x + \Delta x$ вычесть значение функции в старой точке $x$. Наша функция: $y = 5x + x^2$ Начальное значение $x = 1$ Изменение $x$ (то есть $\Delta x$) = $0,1$ 1. **Найдём значение функции в начальной точке $x = 1$:** $$y(1) = 5 \cdot 1 + 1^2 = 5 + 1 = 6$$ 2. **Найдём новое значение $x$, это $x + \Delta x$:** $$1 + 0,1 = 1,1$$ 3. **Найдём значение функции в новой точке $x + \Delta x = 1,1$:** $$y(1,1) = 5 \cdot 1,1 + (1,1)^2 = 5,5 + 1,21 = 6,71$$ 4. **Теперь найдём приращение $\Delta y$:** $$\Delta y = y(x + \Delta x) - y(x) = 6,71 - 6 = 0,71$$ ### Что такое дифференциал функции? Дифференциал функции — это как бы «приближение» приращения функции. Он обозначается $dy$. Чтобы его найти, нужно умножить производную функции на приращение аргумента $\Delta x$. 1. **Найдём производную нашей функции $y = 5x + x^2$:** Производная от $5x$ — это $5$. Производная от $x^2$ — это $2x$. Значит, производная функции $y'$ (или $\frac{dy}{dx}$) будет: $$y' = 5 + 2x$$ 2. **Теперь подставим $x = 1$ в производную, чтобы узнать её значение в этой точке:** $$y'(1) = 5 + 2 \cdot 1 = 5 + 2 = 7$$ 3. **И, наконец, найдём дифференциал $dy$:** $$dy = y' \cdot \Delta x = 7 \cdot 0,1 = 0,7$$ Получается, что приращение функции $\Delta y = 0,71$, а дифференциал функции $dy = 0,7$. Как видишь, они очень похожи! **Ответ:** Приращение $\Delta y = 0,71$, дифференциал $dy = 0,7.