Реши уравнения и неравенства: |x-5|=|x+2|, |x+6|=|x|, |x+9|<|x+5|

Привет! Давай вместе решим эти уравнения и неравенства с модулями. Главное правило модуля: он делает любое число положительным. Например, $|-3|=3$ и $|3|=3$. Вот как можно решать такие задачки: a) $|x-5|=|x+2|$ Это значит, что расстояние от $x$ до 5 такое же, как расстояние от $x$ до -2. Это может быть, если $x-5 = x+2$ (числа равны) или $x-5 = -(x+2)$ (числа противоположны). Первый случай: $$x-5 = x+2$$ $$-5 = 2$$ Это неправда, значит, этот случай не даёт решений. Второй случай: $$x-5 = -(x+2)$$ $$x-5 = -x-2$$ Перенесём $x$ в одну сторону, а числа в другую: $$x+x = -2+5$$ $$2x = 3$$ $$x = \frac{3}{2}$$ или $x = 1,5$ **Ответ: $x = 1,5$** г) $|x+6|=|x|$ Это значит, что расстояние от $x$ до -6 такое же, как расстояние от $x$ до 0. Снова два случая: Первый случай: $$x+6 = x$$ $$6 = 0$$ Это неправда, значит, этот случай не даёт решений. Второй случай: $$x+6 = -x$$ Перенесём $x$ в одну сторону, а числа в другую: $$x+x = -6$$ $$2x = -6$$ $$x = \frac{-6}{2}$$ $$x = -3$$ **Ответ: $x = -3$** ж) $|x+9| < |x+5|$ Это неравенство. Оно означает, что расстояние от $x$ до -9 меньше, чем расстояние от $x$ до -5. Чтобы избавиться от модулей, мы можем возвести обе части в квадрат (потому что обе части неотрицательны): $$(x+9)^2 < (x+5)^2$$ Раскроем скобки, используя формулу $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$: $$x^2 + 2 \cdot x \cdot 9 + 9^2 < x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2$$ $$x^2 + 18x + 81 < x^2 + 10x + 25$$ Вычтем $x^2$ из обеих частей: $$18x + 81 < 10x + 25$$ Перенесём $x$ в одну сторону, а числа в другую: $$18x - 10x < 25 - 81$$ $$8x < -56$$ Разделим обе части на 8. Так как 8 — положительное число, знак неравенства не меняется: $$x < \frac{-56}{8}$$ $$x < -7$$ **Ответ: $x < -7$**