Найди значение выражения $\sqrt{7 \cdot 12 \cdot \sqrt{21}}$

Привет! Давай вместе разберёмся с этими выражениями. Вот как их можно решить: а) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{7 \cdot 12 \cdot \sqrt{21}}$, нужно сначала упростить то, что под корнем, а потом извлечь корень: $$\sqrt{7 \cdot 12 \cdot \sqrt{21}} = \sqrt{7 \cdot (3 \cdot 4) \cdot \sqrt{7 \cdot 3}} = \sqrt{7 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{3}}$$ Потом можно перегруппировать множители: $$\sqrt{7^2 \cdot 3^2 \cdot 4 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{3}} = 7 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \sqrt{\sqrt{7} \cdot \sqrt{3}} = 42 \sqrt{\sqrt{21}}$$ Это можно записать как: $$42 \cdot 21^{1/4}$$ б) Чтобы найти значение выражения $3\sqrt{19} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{38}$, сначала перемножим числа перед корнями, а потом числа под корнями: $$3\sqrt{19} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{38} = (3 \cdot 3) \cdot \sqrt{19 \cdot 2 \cdot 38}$$ Теперь заметим, что $38 = 19 \cdot 2$: $$9 \cdot \sqrt{19 \cdot 2 \cdot (19 \cdot 2)} = 9 \cdot \sqrt{(19 \cdot 2)^2}$$ Извлекаем корень: $$9 \cdot (19 \cdot 2) = 9 \cdot 38 = 342$$ **Ответ: 342** в) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{54 \cdot 90 \cdot 15}$, сначала разложим каждое число на простые множители: $$54 = 2 \cdot 3^3$$ $$90 = 9 \cdot 10 = 3^2 \cdot 2 \cdot 5$$ $$15 = 3 \cdot 5$$ Теперь подставим это в выражение под корень: $$\sqrt{(2 \cdot 3^3) \cdot (3^2 \cdot 2 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 5)}$$ Соберём одинаковые множители: $$\sqrt{2^{1+1} \cdot 3^{3+2+1} \cdot 5^{1+1}} = \sqrt{2^2 \cdot 3^6 \cdot 5^2}$$ Теперь извлекаем корень из каждого множителя (делим степень на 2): $$2^{2/2} \cdot 3^{6/2} \cdot 5^{2/2} = 2^1 \cdot 3^3 \cdot 5^1 = 2 \cdot 27 \cdot 5$$ Перемножаем: $$2 \cdot 27 \cdot 5 = 10 \cdot 27 = 270$$ **Ответ: 270** г) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^4}$, нужно извлечь корень из каждого множителя. Для этого делим каждую степень на 2: $$\sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^4} = 2^{4/2} \cdot 3^{2/2} \cdot 5^{4/2}$$ $$= 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^2$$ Теперь вычислим значения степеней и перемножим: $$= 4 \cdot 3 \cdot 25$$ $$= 12 \cdot 25 = 300$$ **Ответ: 300**