Реши неравенства: 1) $(x + 3,2)(x - 4) \ge 0$; 2) $(x + 7)(x - 6)(x - 14) < 0$; 3) $(2x + 3)(4x - 3)(x - 10) \ge 0$; 4) $(5 + x)(x + 1)(3 - x) < 0$; 5) $(x + 6,8)(1 - x)(2 - x) \ge 0$;

Привет! Давай разберёмся с этими неравенствами. Мы будем использовать метод интервалов. ### 1) $$(x + 3,2)(x - 4) \ge 0$$ Сначала найдём, при каких значениях $x$ каждая скобка равна нулю: $$x + 3,2 = 0 \Rightarrow x = -3,2$$ $$x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$$ Теперь отметим эти точки на числовой прямой. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точки будут "закрашенными" (включены в решение). ----$\[-3,2\]$------------------$\[4\]$----> X Теперь проверим знаки произведения на каждом интервале: - Если $x < -3,2$, например, $x = -5$: $(-5 + 3,2)(-5 - 4) = (-1,8)(-9) = 16,2 > 0$. Значит, интервал положительный. - Если $-3,2 < x < 4$, например, $x = 0$: $(0 + 3,2)(0 - 4) = (3,2)(-4) = -12,8 < 0$. Значит, интервал отрицательный. - Если $x > 4$, например, $x = 5$: $(5 + 3,2)(5 - 4) = (8,2)(1) = 8,2 > 0$. Значит, интервал положительный. Нам нужны интервалы, где произведение больше или равно нулю ($\ge 0$). **Ответ: $x \in (-\infty; -3,2] \cup [4; +\infty)$** ### 2) $$(x + 7)(x - 6)(x - 14) < 0$$ Найдём, когда каждая скобка равна нулю: $$x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7$$ $$x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6$$ $$x - 14 = 0 \Rightarrow x = 14$$ Отметим эти точки на числовой прямой. Неравенство строгое ($<$), поэтому точки будут "выколотыми" (не включены в решение). ----$(-7)$--------------------$(6)$--------------------$(14)$----> X Проверим знаки на каждом интервале: - Если $x < -7$, например, $x = -10$: $(-10 + 7)(-10 - 6)(-10 - 14) = (-3)(-16)(-24) = -1152 < 0$. Значит, интервал отрицательный. - Если $-7 < x < 6$, например, $x = 0$: $(0 + 7)(0 - 6)(0 - 14) = (7)(-6)(-14) = 588 > 0$. Значит, интервал положительный. - Если $6 < x < 14$, например, $x = 10$: $(10 + 7)(10 - 6)(10 - 14) = (17)(4)(-4) = -272 < 0$. Значит, интервал отрицательный. - Если $x > 14$, например, $x = 15$: $(15 + 7)(15 - 6)(15 - 14) = (22)(9)(1) = 198 > 0$. Значит, интервал положительный. Нам нужны интервалы, где произведение строго меньше нуля ($< 0$). **Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (6; 14)$** ### 3) $$(2x + 3)(4x - 3)(x - 10) \ge 0$$ Найдём корни: $$2x + 3 = 0 \Rightarrow 2x = -3 \Rightarrow x = -1,5$$ $$4x - 3 = 0 \Rightarrow 4x = 3 \Rightarrow x = 0,75$$ $$x - 10 = 0 \Rightarrow x = 10$$ Неравенство нестрогое ($\ge$), поэтому точки "закрашенные". ----$\[-1,5\]$-----------------$\[0,75\]$-----------------$\[10\]$----> X Проверим знаки: - Если $x < -1,5$, например, $x = -2$: $(2(-2) + 3)(4(-2) - 3)(-2 - 10) = (-4 + 3)(-8 - 3)(-12) = (-1)(-11)(-12) = -132 < 0$. - Если $-1,5 < x < 0,75$, например, $x = 0$: $(2(0) + 3)(4(0) - 3)(0 - 10) = (3)(-3)(-10) = 90 > 0$. - Если $0,75 < x < 10$, например, $x = 1$: $(2(1) + 3)(4(1) - 3)(1 - 10) = (5)(1)(-9) = -45 < 0$. - Если $x > 10$, например, $x = 11$: $(2(11) + 3)(4(11) - 3)(11 - 10) = (22 + 3)(44 - 3)(1) = (25)(41)(1) = 1025 > 0$. Нам нужны интервалы, где произведение больше или равно нулю ($\ge 0$). **Ответ: $x \in [-1,5; 0,75] \cup [10; +\infty)$** ### 4) $$(5 + x)(x + 1)(3 - x) < 0$$ Внимание! В последней скобке $3 - x$. Чтобы было удобно пользоваться методом интервалов, лучше поменять её на $x - 3$, но тогда нужно изменить знак всего выражения или запомнить, что эта скобка "переворачивает" знак. Давай сделаем так: $$(5 + x)(x + 1)(-1)(x - 3) < 0$$ То есть $$-(5 + x)(x + 1)(x - 3) < 0$$ Чтобы избавиться от минуса перед скобками, умножим всё на $-1$. При этом знак неравенства поменяется на противоположный: $$(5 + x)(x + 1)(x - 3) > 0$$ Найдём корни: $$5 + x = 0 \Rightarrow x = -5$$ $$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$$ $$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$$ Неравенство строгое ($>$), поэтому точки "выколотые". ----$(-5)$--------------------$(-1)$--------------------$(3)$----> X Проверим знаки (для выражения $$(5 + x)(x + 1)(x - 3)$$, которое $ > 0$): - Если $x < -5$, например, $x = -6$: $(-6 + 5)(-6 + 1)(-6 - 3) = (-1)(-5)(-9) = -45 < 0$. - Если $-5 < x < -1$, например, $x = -2$: $(-2 + 5)(-2 + 1)(-2 - 3) = (3)(-1)(-5) = 15 > 0$. - Если $-1 < x < 3$, например, $x = 0$: $(0 + 5)(0 + 1)(0 - 3) = (5)(1)(-3) = -15 < 0$. - Если $x > 3$, например, $x = 4$: $(4 + 5)(4 + 1)(4 - 3) = (9)(5)(1) = 45 > 0$. Нам нужны интервалы, где произведение строго больше нуля ($> 0$). **Ответ: $x \in (-5; -1) \cup (3; +\infty)$** ### 5) $$(x + 6,8)(1 - x)(2 - x) \ge 0$$ Снова у нас есть скобки $(1 - x)$ и $(2 - x)$. Давайте поменяем их на $(x - 1)$ и $(x - 2)$, при этом каждый раз будем умножать на $-1$. Значит, мы дважды умножим на $-1$, что в итоге даст $(-1)(-1) = 1$. То есть знак всего выражения не изменится! (Это работает так: $(1-x)(2-x) = (-1)(x-1)(-1)(x-2) = (x-1)(x-2)$). Значит, неравенство равносильно такому: $$(x + 6,8)(x - 1)(x - 2) \ge 0$$ Найдём корни: $$x + 6,8 = 0 \Rightarrow x = -6,8$$ $$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$$ $$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$$ Неравенство нестрогое ($\ge$), поэтому точки "закрашенные". ----$\[-6,8\]$-----------------$\[1\]$-----------------$\[2\]$----> X Проверим знаки: - Если $x < -6,8$, например, $x = -7$: $(-7 + 6,8)(-7 - 1)(-7 - 2) = (-0,2)(-8)(-9) = -14,4 < 0$. - Если $-6,8 < x < 1$, например, $x = 0$: $(0 + 6,8)(0 - 1)(0 - 2) = (6,8)(-1)(-2) = 13,6 > 0$. - Если $1 < x < 2$, например, $x = 1,5$: $(1,5 + 6,8)(1,5 - 1)(1,5 - 2) = (8,3)(0,5)(-0,5) = -2,075 < 0$. - Если $x > 2$, например, $x = 3$: $(3 + 6,8)(3 - 1)(3 - 2) = (9,8)(2)(1) = 19,6 > 0$. Нам нужны интервалы, где произведение больше или равно нулю ($\ge 0$). **Ответ: $x \in [-6,8; 1] \cup [2; +\infty)$**