Реши неравенство методом интервалов: $$\frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 4x + 4} > 0$$

Привет! Давай разберёмся с этими неравенствами методом интервалов. Это очень удобный способ, чтобы понять, где функция больше или меньше нуля. Сначала упростим дробь: числитель и знаменатель разложим на множители. Для этого найдём корни квадратных уравнений. **1. Разложим числитель на множители:** $$x^2 + x - 12 = 0$$ Найдём дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$. Корни: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 7}{2}$$ $$x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ Значит, числитель можно записать так: $(x-3)(x+4)$. **2. Разложим знаменатель на множители:** $$x^2 - 4x + 4 = 0$$ Это квадрат разности, который можно свернуть по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=x$, $b=2$. Значит, знаменатель: $(x-2)^2$. Заметь, что это выражение всегда будет больше или равно нулю. Равно нулю оно будет только при $x=2$. Итак, наше неравенство в общем виде будет таким: $$\frac{(x-3)(x+4)}{(x-2)^2}$$ Теперь найдём "критические точки" — это те значения x, при которых числитель или знаменатель обращаются в ноль: * Числитель равен нулю, когда $x=3$ или $x=-4$. * Знаменатель равен нулю, когда $x=2$. При этом $x \neq 2$, потому что на ноль делить нельзя. Нанесём эти точки на числовую прямую. Точки $-4$ и $3$ будут зависеть от знака неравенства (строгое или нестрогое), а точка $2$ всегда будет выколотой, потому что она делает знаменатель равным нулю. **Для всех неравенств:** ```text ----(-)----(-4)----(+)----(2)----(+)----(3)----(+)----> x ``` * При $x < -4$, например $x=-5$: $$\frac{(-5-3)(-5+4)}{(-5-2)^2} = \frac{(-8)(-1)}{(-7)^2} = \frac{8}{49} > 0$$ (плюс) * При $-4 < x < 2$, например $x=0$: $$\frac{(0-3)(0+4)}{(0-2)^2} = \frac{(-3)(4)}{(-2)^2} = \frac{-12}{4} = -3 < 0$$ (минус) * При $2 < x < 3$, например $x=2.5$: $$\frac{(2.5-3)(2.5+4)}{(2.5-2)^2} = \frac{(-0.5)(6.5)}{(0.5)^2} = \frac{-3.25}{0.25} = -13 < 0$$ (минус) * При $x > 3$, например $x=4$: $$\frac{(4-3)(4+4)}{(4-2)^2} = \frac{(1)(8)}{(2)^2} = \frac{8}{4} = 2 > 0$$ (плюс) Теперь рассмотрим каждое неравенство отдельно: 1) $$\frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 4x + 4} > 0$$ Это строгое неравенство, поэтому все точки на числовой прямой будут выколотыми (кружочки без закраски), так как значение дроби не может быть равно нулю. Нам нужны интервалы, где функция больше нуля (плюс). **Ответ: $(-\infty; -4) \cup (3; +\infty)$** 2) $$\frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 4x + 4} \ge 0$$ Это нестрогое неравенство, значит, точки, в которых числитель равен нулю, будут закрашенными (включаем их в ответ). Точка $x=2$ всё равно остаётся выколотой, потому что она делает знаменатель равным нулю. Нам нужны интервалы, где функция больше или равна нулю (плюс). **Ответ: $(-\infty; -4] \cup [3; +\infty)$** 3) $$\frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 4x + 4} < 0$$ Это строгое неравенство, все точки выколотые. Нам нужны интервалы, где функция меньше нуля (минус). **Ответ: $(-4; 2) \cup (2; 3)$** 4) $$\frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 4x + 4} \le 0$$ Это нестрогое неравенство. Точки, в которых числитель равен нулю, включаем (закрашенные). Точка $x=2$ остаётся выколотой. Нам нужны интервалы, где функция меньше или равна нулю (минус). **Ответ: $[-4; 2) \cup (2; 3]$**