Чему равна производная функции $f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x^2 - 1}$?

Привет! Давай найдем производную от этой функции вместе. Смотри, у нас тут дробь, поэтому будем использовать правило для производной частного: $$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ В нашей функции $f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x^2 - 1}$: * $u = x^2 + 3x$ * $v = x^2 - 1$ Теперь найдем производные от $u$ и $v$: * $u' = (x^2 + 3x)' = (x^2)' + (3x)' = 2x + 3$ * $v' = (x^2 - 1)' = (x^2)' - (1)' = 2x - 0 = 2x$ Теперь подставляем всё это в формулу для производной частного: $$f'(x) = \frac{(2x + 3)(x^2 - 1) - (x^2 + 3x)(2x)}{(x^2 - 1)^2}$$ Раскроем скобки в числителе: $(2x + 3)(x^2 - 1) = 2x \cdot x^2 + 2x \cdot (-1) + 3 \cdot x^2 + 3 \cdot (-1) = 2x^3 - 2x + 3x^2 - 3$ $(x^2 + 3x)(2x) = x^2 \cdot 2x + 3x \cdot 2x = 2x^3 + 6x^2$ Теперь подставляем это обратно в числитель: $$(2x^3 - 2x + 3x^2 - 3) - (2x^3 + 6x^2)$$ Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые: $$2x^3 - 2x + 3x^2 - 3 - 2x^3 - 6x^2$$ $$(2x^3 - 2x^3) + (3x^2 - 6x^2) - 2x - 3$$ $$0 - 3x^2 - 2x - 3$$ $$-3x^2 - 2x - 3$$ Итак, наша производная выглядит так: $$f'(x) = \frac{-3x^2 - 2x - 3}{(x^2 - 1)^2}$$ Можно еще вынести минус из числителя, чтобы было красивее: $$f'(x) = -\frac{3x^2 + 2x + 3}{(x^2 - 1)^2}$$ **Ответ:** $$f'(x) = -\frac{3x^2 + 2x + 3}{(x^2 - 1)^2}$$