Привет! Давай разберёмся с этими неравенствами.
### 1) $$\sqrt{x + 33} > x + 3$$
Чтобы решить такое неравенство, нужно учесть несколько важных моментов:
1. **Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:** $x + 33 \ge 0$, откуда $x \ge -33$.
2. **Разобьём на два случая в зависимости от знака правой части:**
* **Случай 1:** Правая часть $x + 3 < 0$, то есть $x < -3$.
В этом случае левая часть (корень) всегда неотрицательна, а правая часть отрицательна. Неотрицательное число всегда больше отрицательного, поэтому неравенство $$\sqrt{x + 33} > x + 3$$ будет выполняться для всех $x$, которые подходят под условия $x \ge -33$ и $x < -3$. Объединяем эти условия: $-33 \le x < -3$.
* **Случай 2:** Правая часть $x + 3 ext{ (или } x + 3 \ge 0\text{)}$, то есть $x \ge -3$.
В этом случае обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат, не меняя знак неравенства:
$$( \sqrt{x + 33} )^2 > (x + 3)^2$$
$$x + 33 > x^2 + 6x + 9$$
Переносим всё в одну сторону:
$$0 > x^2 + 6x - x + 9 - 33$$
$$0 > x^2 + 5x - 24$$
Или, что то же самое:
$$x^2 + 5x - 24 < 0$$
Найдём корни квадратного уравнения $x^2 + 5x - 24 = 0$ с помощью дискриминанта или теоремы Виета:
$$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$$
$$\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$$
$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 11}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$
$$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 11}{2} = \frac{6}{2} = 3$$
Так как парабола $y = x^2 + 5x - 24$ направлена ветвями вверх, она меньше нуля между своими корнями: $-8 < x < 3$.
Теперь нужно учесть условие для этого случая: $x \ge -3$. Объединяем $-8 < x < 3$ и $x \ge -3$: получаем $-3 \le x < 3$.
3. **Объединяем решения из обоих случаев:**
Из Случая 1: $-33 \le x < -3$
Из Случая 2: $-3 \le x < 3$
Объединяем их: $-33 \le x < 3$.
**Ответ:** $$\mathbf{x \in [-33; 3)}$$
### 2) $$\sqrt{16 - 5x} \ge x - 2$$
Здесь тоже нужно быть внимательным с подкоренным выражением и правой частью:
1. **Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:** $16 - 5x \ge 0$, откуда $16 \ge 5x$, или $x \le \frac{16}{5} = 3.2$.
2. **Разобьём на два случая в зависимости от знака правой части:**
* **Случай 1:** Правая часть $x - 2 < 0$, то есть $x < 2$.
Если $x - 2 < 0$, то левая часть (корень) неотрицательна, а правая — отрицательна. Неотрицательное число всегда больше или равно отрицательному, значит, неравенство $$\sqrt{16 - 5x} \ge x - 2$$ будет выполняться для всех $x$, которые подходят под условия $x \le 3.2$ и $x < 2$. Объединяем их: $x < 2$.
* **Случай 2:** Правая часть $x - 2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$.
В этом случае обе части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, не меняя знак неравенства:
$$( \sqrt{16 - 5x} )^2 \ge (x - 2)^2$$
$$16 - 5x \ge x^2 - 4x + 4$$
Переносим всё в одну сторону:
$$0 \ge x^2 - 4x + 5x + 4 - 16$$
$$0 \ge x^2 + x - 12$$
Или, что то же самое:
$$x^2 + x - 12 \le 0$$
Найдём корни квадратного уравнения $x^2 + x - 12 = 0$:
$$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$$
$$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$$
$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$
$$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$$
Парабола $y = x^2 + x - 12$ направлена ветвями вверх, поэтому она меньше или равна нулю между своими корнями: $-4 \le x \le 3$.
Теперь нужно учесть условия для этого случая: $x \ge 2$ и $x \le 3.2$. Объединяем $-4 \le x \le 3$, $x \ge 2$ и $x \le 3.2$: получаем $2 \le x \le 3$.
3. **Объединяем решения из обоих случаев:**
Из Случая 1: $x < 2$
Из Случая 2: $2 \le x \le 3$
Объединяем их: $x \le 3$.
И ещё не забываем про первое условие: $x \le 3.2$.
Объединяя $x \le 3$ и $x \le 3.2$, получаем $x \le 3$.
**Ответ:** $$\mathbf{x \in (-\infty; 3]}$$
