Найди допустимые значения переменной в выражении (x-1)/3

Привет! Давай найдём, какие значения может принимать переменная \(x\) в каждом выражении. Это называется "допустимые значения переменной". Главное правило: нельзя делить на ноль! 1) \((x-1)/3\) Здесь нет деления на \(x\), поэтому \(x\) может быть любым числом. **Ответ: \(x\) — любое число.** 2) \(x^2+6x+8\) Это просто многочлен, здесь тоже нет деления на \(x\). **Ответ: \(x\) — любое число.** 3) \(1/x + 1/(x-1)\) У нас есть дроби. Знаменатели (то, что внизу) не должны быть равны нулю: \(x \ne 0\) \(x-1 \ne 0 \implies x \ne 1\) **Ответ: \(x \ne 0\) и \(x \ne 1\).** 4) \(1/x - 1/(x+1)\) Опять смотрим на знаменатели: \(x \ne 0\) \(x+1 \ne 0 \implies x \ne -1\) **Ответ: \(x \ne 0\) и \(x \ne -1\).** 5) \(1/(x+1) + 1/(x-2)\) Знаменатели не должны быть нулём: \(x+1 \ne 0 \implies x \ne -1\) \(x-2 \ne 0 \implies x \ne 2\) **Ответ: \(x \ne -1\) и \(x \ne 2\).** 6) \(3/x + x/3\) В первой дроби знаменатель \(x\) не должен быть нулём. Во второй дроби в знаменателе число \(3\), оно никогда не будет нулём. \(x \ne 0\) **Ответ: \(x \ne 0\).** 7) \(x/(-x-5) - 7\) Знаменатель \(-x-5\) не должен быть нулём: \(-x-5 \ne 0\) \(-x \ne 5\) \(x \ne -5\) **Ответ: \(x \ne -5\).** 8) \(16/(x^2+3) + 1/5\) Посмотрим на знаменатель \(x^2+3\). Квадрат любого числа (\(x^2\)) всегда больше или равен нулю. Если к нему прибавить \(3\), то \(x^2+3\) всегда будет больше \(3\), а значит, никогда не будет равно нулю. Знаменатель \(5\) тоже не ноль. **Ответ: \(x\) — любое число.** 9) \((8x+3)/(x(x^2+7))\) Знаменатель \(x(x^2+7)\) не должен быть нулём. Это значит, что ни один из множителей не должен быть нулём: \(x \ne 0\) \(x^2+7 \ne 0\) (как и в пункте 8, \(x^2+7\) всегда больше \(7\), то есть не равно нулю) **Ответ: \(x \ne 0\).** 10) \(4/(x(x-2)(x^2+2))\) Знаменатель \(x(x-2)(x^2+2)\) не должен быть нулём. Смотрим на множители: \(x \ne 0\) \(x-2 \ne 0 \implies x \ne 2\) \(x^2+2 \ne 0\) (это выражение всегда больше \(2\), не равно нулю) **Ответ: \(x \ne 0\) и \(x \ne 2\).** 11) \(x/(x+6) - 1/x + 2/(x-1)\) У нас три дроби, смотрим на каждый знаменатель: \(x+6 \ne 0 \implies x \ne -6\) \(x \ne 0\) \(x-1 \ne 0 \implies x \ne 1\) **Ответ: \(x \ne -6\), \(x \ne 0\) и \(x \ne 1\).** 12) \((2x^3-3x^2+5)/4\) Здесь нет деления на \(x\) (в знаменателе число \(4\)). **Ответ: \(x\) — любое число.** 13) \(36/(x-7) + 1/x\) Знаменатели не должны быть нулём: \(x-7 \ne 0 \implies x \ne 7\) \(x \ne 0\) **Ответ: \(x \ne 7\) и \(x \ne 0\).** 14) \(1/6 + 2/7 + 2/(3x^2)\) Только одна дробь содержит \(x\) в знаменателе. Знаменатель \(3x^2\) не должен быть нулём: \(3x^2 \ne 0\) \(x^2 \ne 0\) \(x \ne 0\) **Ответ: \(x \ne 0\).** 15) \(8/(-x^2)\) Знаменатель \(-x^2\) не должен быть нулём: \(-x^2 \ne 0\) \(x^2 \ne 0\) \(x \ne 0\) **Ответ: \(x \ne 0\).** 16) \(40/(3x^2-3)\) Знаменатель \(3x^2-3\) не должен быть нулём: \(3x^2-3 \ne 0\) \(3(x^2-1) \ne 0\) \(x^2-1 \ne 0\) \(x^2 \ne 1\) \(x \ne 1\) и \(x \ne -1\) **Ответ: \(x \ne 1\) и \(x \ne -1\).** 17) \(1/x + 2/3\) Знаменатель \(x\) не должен быть нулём. Число \(3\) в другом знаменателе не ноль. \(x \ne 0\) **Ответ: \(x \ne 0\).** 18) \(1/x : 1/(x-1)\) Деление дробей можно заменить умножением на перевёрнутую вторую дробь: \(1/x \cdot (x-1)/1 = (x-1)/x\) Теперь смотрим на знаменатель получившейся дроби \(x\) — он не должен быть нулём. И ещё, при делении исходная вторая дробь \(1/(x-1)\) не должна быть равна нулю, то есть её числитель \(1\) никогда не равен нулю, а знаменатель \(x-1\) не должен быть нулём, чтобы сама дробь была определена. Итак: \(x \ne 0\) \(x-1 \ne 0 \implies x \ne 1\) **Ответ: \(x \ne 0\) и \(x \ne 1\).** 19) \(x/(x-5) + (x+2)/3\) Знаменатель первой дроби \(x-5\) не должен быть нулём. Знаменатель второй дроби — число \(3\), оно не ноль. \(x-5 \ne 0 \implies x \ne 5\) **Ответ: \(x \ne 5\).** 20) \(x(x-1)(x+3)\) Это просто произведение, здесь нет деления. \(x\) может быть любым числом. **Ответ: \(x\) — любое число.**