Привет! Давай разберёмся с этими примерами на умножение. Тут мы будем использовать одну очень полезную формулу сокращённого умножения, которая называется «разность квадратов»: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
### № 64. Выполните умножение:
а) $3(4-a)(4+a)$
Смотри, здесь $(4-a)(4+a)$ – это как раз наша формула разности квадратов. Значит, это $4^2 - a^2$. И не забудь про тройку впереди!
$$3(4-a)(4+a) = 3(4^2 - a^2) = 3(16 - a^2) = 3 \cdot 16 - 3 \cdot a^2 = 48 - 3a^2$$
**Ответ: $48 - 3a^2$**
б) $-5(x+y)(x-y)$
Опять видим формулу разности квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$. Умножаем на $-5$.
$$-5(x+y)(x-y) = -5(x^2 - y^2) = -5 \cdot x^2 - 5 \cdot (-y^2) = -5x^2 + 5y^2$$
**Ответ: $-5x^2 + 5y^2$**
в) $2m(3a-5)(3a+5)$
Здесь $(3a-5)(3a+5)$ это $(3a)^2 - 5^2$. Не забудь, что $3a$ – это одно целое, когда возводим в квадрат.
$$2m(3a-5)(3a+5) = 2m((3a)^2 - 5^2) = 2m(9a^2 - 25) = 2m \cdot 9a^2 - 2m \cdot 25 = 18a^2m - 50m$$
**Ответ: $18a^2m - 50m$**
г) $-10y(2y+3z)(3z-2y)$
Посмотри внимательно на скобки: $(2y+3z)$ и $(3z-2y)$. Их можно переписать так: $(3z+2y)$ и $(3z-2y)$. Теперь видно, что это разность квадратов! $a = 3z$, $b = 2y$.
$$-10y(2y+3z)(3z-2y) = -10y((3z)^2 - (2y)^2) = -10y(9z^2 - 4y^2) = -10y \cdot 9z^2 - 10y \cdot (-4y^2) = -90yz^2 + 40y^3$$
**Ответ: $-90yz^2 + 40y^3$**
д) $0,5b(4a-6b^2)(4a+6b^2)$
Снова разность квадратов: $(4a-6b^2)(4a+6b^2) = (4a)^2 - (6b^2)^2$.
$$0,5b(4a-6b^2)(4a+6b^2) = 0,5b((4a)^2 - (6b^2)^2) = 0,5b(16a^2 - 36b^4) = 0,5b \cdot 16a^2 - 0,5b \cdot 36b^4 = 8a^2b - 18b^5$$
**Ответ: $8a^2b - 18b^5$**
е) $-10x(0,8y+0,5x^2)(x^2-0,8y)$
Похоже на предыдущий пример. Перепишем скобки: $(0,5x^2+0,8y)$ и $(0,5x^2-0,8y)$. Теперь это разность квадратов, где $a = 0,5x^2$ и $b = 0,8y$.
$$-10x(0,8y+0,5x^2)(x^2-0,8y) = -10x(0,5x^2+0,8y)(0,5x^2-0,8y) = -10x((0,5x^2)^2 - (0,8y)^2) = -10x(0,25x^4 - 0,64y^2) = -10x \cdot 0,25x^4 - 10x \cdot (-0,64y^2) = -2,5x^5 + 6,4xy^2$$
**Ответ: $-2,5x^5 + 6,4xy^2$**
ж) $4p(p-c)(p+c)$
Просто применяем разность квадратов: $(p-c)(p+c) = p^2 - c^2$.
$$4p(p-c)(p+c) = 4p(p^2 - c^2) = 4p \cdot p^2 - 4p \cdot c^2 = 4p^3 - 4pc^2$$
**Ответ: $4p^3 - 4pc^2$**
з) $-3c(2k+3c)(3c-2k)$
Снова переставляем слагаемые во второй скобке, чтобы было удобнее: $(3c+2k)(3c-2k)$. Это $(3c)^2 - (2k)^2$.
$$-3c(2k+3c)(3c-2k) = -3c((3c)^2 - (2k)^2) = -3c(9c^2 - 4k^2) = -3c \cdot 9c^2 - 3c \cdot (-4k^2) = -27c^3 + 12ck^2$$
**Ответ: $-27c^3 + 12ck^2$**
### № 65. Выполните умножение:
а) $(x-y)(x+y)(x^2+y^2)$
Сначала умножим первые две скобки: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. Затем умножим этот результат на $(x^2+y^2)$. И снова получим разность квадратов!
$$(x-y)(x+y)(x^2+y^2) = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = (x^2)^2 - (y^2)^2 = x^4 - y^4$$
**Ответ: $x^4 - y^4$**
б) $(a+3)(3-a)(9+a^2)$
Переставим слагаемые в первой скобке, чтобы было удобнее: $(3+a)$. Теперь умножим первые две скобки: $(3+a)(3-a) = 3^2 - a^2 = 9 - a^2$.
$$(a+3)(3-a)(9+a^2) = (3+a)(3-a)(9+a^2) = (9-a^2)(9+a^2)$$
И снова разность квадратов: $(9-a^2)(9+a^2) = 9^2 - (a^2)^2 = 81 - a^4$.
**Ответ: $81 - a^4$**
в) $(5+m)(m^2+25)(m-5)$
Сначала умножим $(5+m)$ на $(m-5)$. Можно переставить: $(m+5)(m-5) = m^2 - 5^2 = m^2 - 25$.
$$(5+m)(m^2+25)(m-5) = (m+5)(m-5)(m^2+25) = (m^2-25)(m^2+25)$$
И опять разность квадратов: $(m^2-25)(m^2+25) = (m^2)^2 - 25^2 = m^4 - 625$.
**Ответ: $m^4 - 625$**
г) $(1+4p^2)(2+1)(1-2p)$
Ох, здесь что-то не так в условии, похоже, есть опечатка! Скобка $(2+1)$ – это просто $3$. Давай предположим, что вместо $(2+1)$ должно быть $(1+2p)$. Тогда будет похоже на остальные примеры.
**Допущение: Вместо $(2+1)$ в примере г) должно быть $(1+2p)$.**
Если это так, то: $(1+4p^2)(1+2p)(1-2p)$.
Сначала умножим $(1+2p)(1-2p) = 1^2 - (2p)^2 = 1 - 4p^2$.
$$(1+4p^2)(1+2p)(1-2p) = (1+4p^2)(1-4p^2)$$
И снова разность квадратов: $(1+4p^2)(1-4p^2) = 1^2 - (4p^2)^2 = 1 - 16p^4$.
**Ответ: $1 - 16p^4$**
Если же в примере г) действительно было $(2+1)$, то решение будет такое:
$$(1+4p^2)(2+1)(1-2p) = (1+4p^2) \cdot 3 \cdot (1-2p) = 3(1+4p^2)(1-2p)$$
Здесь нет формулы разности квадратов для всех скобок сразу. Нужно будет умножать по очереди:
$$3(1+4p^2)(1-2p) = 3(1 \cdot 1 - 1 \cdot 2p + 4p^2 \cdot 1 - 4p^2 \cdot 2p) = 3(1 - 2p + 4p^2 - 8p^3)$$
Раскрываем скобки:
$$3 - 6p + 12p^2 - 24p^3$$
Этот вариант мне кажется менее вероятным, учитывая остальные примеры, которые явно построены на формуле разности квадратов. Но на всякий случай, вот оба решения!
