Привет! Давай вместе разберёмся, как построить график этой интересной функции. Она называется "кусочной", потому что для разных участков оси $x$ используются разные формулы.
У нас есть две части функции:
1. $y = 2x$, если $x < 0$
2. $y = \frac{1}{2}x$, если $x > 0$
Обрати внимание, что в точке $x=0$ функция не определена, так как ни в первом, ни во втором случае знак "равно" нулю не стоит ($<$ и $>$). Это значит, что в точке $(0,0)$ на графике будет "пустой кружочек".
Давай строить каждую часть по очереди.
### Шаг 1: Строим график функции $y = 2x$ для $x < 0$
Эта часть графика — прямая линия. Чтобы построить прямую, нам достаточно двух точек. Поскольку $x$ должен быть меньше нуля, мы возьмём отрицательные значения $x$.
1. **Найдём первую точку.**
Возьмём $x = -1$. Подставим это значение в формулу $y = 2x$:
$$y = 2 \cdot (-1) = -2$$
Получили точку $(-1, -2)$.
2. **Найдём вторую точку.**
Возьмём $x = -2$. Подставим это значение в формулу $y = 2x$:
$$y = 2 \cdot (-2) = -4$$
Получили точку $(-2, -4)$.
3. **Особый случай: что происходит при $x$, приближающемся к нулю?**
Хотя $x$ не может быть равен $0$, давай представим, что было бы, если бы он был равен $0$:
$$y = 2 \cdot 0 = 0$$
То есть, если бы не было ограничения $x < 0$, линия прошла бы через точку $(0,0)$. Но поскольку $x$ строго меньше $0$, эта точка на графике будет "выколотой" (или "пустой").
Теперь, чтобы начертить первую часть графика, тебе нужно на координатной плоскости отметить точки $(-1, -2)$ и $(-2, -4)$. Затем проведи прямую через эти точки, начиная от "выколотой" точки $(0,0)$ и продолжая её влево и вниз через $(-1, -2)$ и $(-2, -4)$. Это будет луч, направленный влево.
### Шаг 2: Строим график функции $y = \frac{1}{2}x$ для $x > 0$
Эта часть графика тоже прямая линия. Для её построения нам также нужны две точки. Поскольку $x$ должен быть больше нуля, мы возьмём положительные значения $x$.
1. **Найдём первую точку.**
Возьмём $x = 2$ (чтобы было удобнее считать, так как есть дробь $\frac{1}{2}$). Подставим это значение в формулу $y = \frac{1}{2}x$:
$$y = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$$
Получили точку $(2, 1)$.
2. **Найдём вторую точку.**
Возьмём $x = 4$. Подставим это значение в формулу $y = \frac{1}{2}x$:
$$y = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$$
Получили точку $(4, 2)$.
3. **Особый случай: что происходит при $x$, приближающемся к нулю?**
Так же, как и в первом случае, если бы $x$ был равен $0$:
$$y = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$$
Значит, и эта часть графика тоже "подходит" к точке $(0,0)$, но не включает её. В точке $(0,0)$ снова будет "выколотая" (или "пустая") точка.
Теперь, чтобы начертить вторую часть графика, тебе нужно на координатной плоскости отметить точки $(2, 1)$ и $(4, 2)$. Затем проведи прямую через эти точки, начиная от "выколотой" точки $(0,0)$ и продолжая её вправо и вверх через $(2, 1)$ и $(4, 2)$. Это будет луч, направленный вправо.
### Шаг 3: Объединяем части графика
На одной координатной плоскости ты увидишь два луча.
* Один луч идёт из точки $(0,0)$ (но не включая её) влево и вниз. Он проходит, например, через $(-1, -2)$ и $(-2, -4)$.
* Второй луч идёт из точки $(0,0)$ (но не включая её) вправо и вверх. Он проходит, например, через $(2, 1)$ и $(4, 2)$.
Оба луча не включают точку $(0,0)$. Это значит, что график функции как бы "разрывается" в начале координат. На месте точки $(0,0)$ нужно нарисовать небольшой пустой кружочек, показывающий, что эта точка не принадлежит графику.
Вот как бы выглядел твой график:
1. Начерти оси $X$ и $Y$.
2. Поставь пустой кружочек в начале координат $(0,0)$.
3. От $(0,0)$ проведи луч влево через точки $(-1, -2)$, $(-2, -4)$ и так далее.
4. От $(0,0)$ проведи луч вправо через точки $(2, 1)$, $(4, 2)$ и так далее.
Надеюсь, моё объяснение помогло тебе разобраться!
