Привет! Отличное задание на упрощение выражений. Давай разберем каждое по шагам.
### 1) $-3x^7y^8 \cdot 2,5x^2y^4$
Чтобы упростить это выражение, нам нужно перемножить числовые коэффициенты, затем отдельно перемножить части с $x$ и части с $y$. Вспомни правило: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели степеней складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).
1. **Умножаем числовые коэффициенты:**
Мы умножаем $-3$ на $2,5$.
$$-3 \cdot 2,5 = -7,5$$
2. **Умножаем части с $x$:**
Мы умножаем $x^7$ на $x^2$.
$$x^7 \cdot x^2 = x^{7+2} = x^9$$
3. **Умножаем части с $y$:**
Мы умножаем $y^8$ на $y^4$.
$$y^8 \cdot y^4 = y^{8+4} = y^{12}$$
4. **Собираем всё вместе:**
Теперь записываем все полученные части в одно выражение.
$$-7,5x^9y^{12}$$
**Ответ: $-7,5x^9y^{12}$**
### 2) $(3a + 4B) - (14a - 2B) + (20a - 42B)$
Здесь нам нужно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Помни, что если перед скобками стоит знак минус, то все знаки внутри скобок меняются на противоположные. Если стоит плюс, то знаки остаются прежними.
1. **Раскрываем скобки:**
* Перед первой скобкой нет знака, значит, считаем, что стоит плюс, и скобки просто убираются: $3a + 4B$.
* Перед второй скобкой стоит минус, поэтому знаки $14a$ и $-2B$ меняются: $-14a + 2B$.
* Перед третьей скобкой стоит плюс, поэтому знаки $20a$ и $-42B$ остаются: $+20a - 42B$.
Получаем:
$$3a + 4B - 14a + 2B + 20a - 42B$$
2. **Собираем подобные слагаемые:**
Сгруппируем все слагаемые с $a$ и все слагаемые с $B$.
* Слагаемые с $a$: $3a - 14a + 20a$
* Слагаемые с $B$: $4B + 2B - 42B$
3. **Вычисляем суммы для каждой группы:**
* Для $a$: $3 - 14 + 20 = -11 + 20 = 9$. Значит, $9a$.
* Для $B$: $4 + 2 - 42 = 6 - 42 = -36$. Значит, $-36B$.
4. **Записываем итоговое выражение:**
$$9a - 36B$$
**Ответ: $9a - 36B$**
### 3) $(a - 3)(4a + 1) - 18$
Здесь нам нужно сначала перемножить две скобки, а затем выполнить вычитание. Чтобы перемножить две скобки, нужно каждое слагаемое из первой скобки умножить на каждое слагаемое из второй скобки.
1. **Перемножаем скобки $(a - 3)(4a + 1)$:**
* Умножаем $a$ на $4a$: $a \cdot 4a = 4a^2$.
* Умножаем $a$ на $1$: $a \cdot 1 = a$.
* Умножаем $-3$ на $4a$: $-3 \cdot 4a = -12a$.
* Умножаем $-3$ на $1$: $-3 \cdot 1 = -3$.
Записываем результат умножения:
$$4a^2 + a - 12a - 3$$
2. **Приводим подобные слагаемые в полученном выражении:**
Подобные слагаемые здесь $a$ и $-12a$.
$$a - 12a = -11a$$
Теперь выражение выглядит так:
$$4a^2 - 11a - 3$$
3. **Вычитаем $18$ из полученного выражения:**
$$4a^2 - 11a - 3 - 18$$
4. **Вычисляем числовые части:**
$$-3 - 18 = -21$$
Итоговое выражение:
$$4a^2 - 11a - 21$$
**Ответ: $4a^2 - 11a - 21$**
### 4) $(x - 4y)^2 + (5y + x)^2$
Здесь нам нужно использовать формулы сокращенного умножения:
* Квадрат разности: $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$
* Квадрат суммы: $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$
1. **Раскрываем первую скобку $(x - 4y)^2$ по формуле квадрата разности:**
Здесь $A = x$ и $B = 4y$.
$$(x - 4y)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4y + (4y)^2 = x^2 - 8xy + 16y^2$$
2. **Раскрываем вторую скобку $(5y + x)^2$ по формуле квадрата суммы:**
Здесь $A = 5y$ и $B = x$. (Можно поменять местами $x$ и $5y$ для удобства: $(x + 5y)^2$)
$$(5y + x)^2 = (5y)^2 + 2 \cdot 5y \cdot x + x^2 = 25y^2 + 10xy + x^2$$
3. **Складываем полученные выражения:**
$$(x^2 - 8xy + 16y^2) + (25y^2 + 10xy + x^2)$$
4. **Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:**
$x^2 - 8xy + 16y^2 + 25y^2 + 10xy + x^2$
* Слагаемые с $x^2$: $x^2 + x^2 = 2x^2$.
* Слагаемые с $xy$: $-8xy + 10xy = 2xy$.
* Слагаемые с $y^2$: $16y^2 + 25y^2 = 41y^2$.
5. **Записываем итоговое выражение:**
$$2x^2 + 2xy + 41y^2$$
**Ответ: $2x^2 + 2xy + 41y^2$**
