Реши уравнение lg(x + √5) = -lg(x - √5)

Привет! Давай разберёмся с этим логарифмическим уравнением по шагам. Уравнение выглядит так: а) $lg(x + \sqrt{5}) = -lg(x - \sqrt{5})$; **Шаг 1: Найдём область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.** Мы знаем, что выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть строго больше нуля. Значит, нам нужно, чтобы выполнялись два условия: 1. $x + \sqrt{5} > 0$ 2. $x - \sqrt{5} > 0$ Решим каждое неравенство: Из первого неравенства: $$x + \sqrt{5} > 0$$ $$x > -\sqrt{5}$$ Из второго неравенства: $$x - \sqrt{5} > 0$$ $$x > \sqrt{5}$$ Чтобы оба условия выполнялись одновременно, $x$ должен быть больше наибольшего из этих двух значений. Так как $\sqrt{5}$ - это положительное число, а $-\sqrt{5}$ - отрицательное, то $x$ должен быть больше $\sqrt{5}$. Значит, ОДЗ: $x > \sqrt{5}$. **Шаг 2: Преобразуем уравнение.** Исходное уравнение: $$lg(x + \sqrt{5}) = -lg(x - \sqrt{5})$$ Перенесём выражение с отрицательным логарифмом в левую часть уравнения, поменяв знак: $$lg(x + \sqrt{5}) + lg(x - \sqrt{5}) = 0$$ Теперь воспользуемся свойством логарифма: сумма логарифмов равна логарифму произведения. То есть, $lg A + lg B = lg (A \cdot B)$. Применяем это свойство к нашему уравнению: $$lg((x + \sqrt{5})(x - \sqrt{5})) = 0$$ В скобках у нас формула разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. Здесь $a=x$, а $b=\sqrt{5}$. Значит, $(x + \sqrt{5})(x - \sqrt{5}) = x^2 - (\sqrt{5})^2 = x^2 - 5$. Подставим это обратно в уравнение: $$lg(x^2 - 5) = 0$$ **Шаг 3: Решим полученное уравнение.** Мы знаем, что десятичный логарифм (lg) числа равен нулю, если само число равно $10^0 = 1$. То есть, если $lg A = 0$, то $A = 10^0 = 1$. В нашем случае $A = x^2 - 5$. Значит: $$x^2 - 5 = 1$$ Теперь решим это простое квадратное уравнение: $$x^2 = 1 + 5$$ $$x^2 = 6$$ Извлекаем квадратный корень из обеих частей. Помни, что квадратный корень может быть как положительным, так и отрицательным: $$x = \sqrt{6} \text{ или } x = -\sqrt{6}$$ **Шаг 4: Проверим полученные корни на соответствие ОДЗ.** Наше ОДЗ: $x > \sqrt{5}$. 1. Проверим $x = \sqrt{6}$: Мы знаем, что $\sqrt{6}$ это примерно $2.449$, а $\sqrt{5}$ это примерно $2.236$. Так как $2.449 > 2.236$, то $\sqrt{6} > \sqrt{5}$. Значит, $x = \sqrt{6}$ подходит под ОДЗ. 2. Проверим $x = -\sqrt{6}$: $-\sqrt{6}$ это отрицательное число (примерно $-2.449$). Наше ОДЗ требует, чтобы $x$ был больше положительного числа $\sqrt{5}$. Очевидно, что отрицательное число не может быть больше положительного. Значит, $x = -\sqrt{6}$ не подходит под ОДЗ, и этот корень мы отбрасываем. Таким образом, уравнение имеет только один корень. **Ответ:** $x = \sqrt{6}$