Привет! С удовольствием помогу тебе разобраться с этими неравенствами. Мы будем решать их по шагам, используя метод интервалов или графический метод с параболой.
### Задача 1: $x^2 - 64 \ge 0$
Это квадратное неравенство. Чтобы его решить, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения.
**Шаг 1: Найдем корни уравнения $x^2 - 64 = 0$**
Перенесем число 64 в правую часть:
$$x^2 = 64$$
Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей. Не забудь, что квадратный корень имеет два значения: положительное и отрицательное.
$$x = \pm\sqrt{64}$$
$$x_1 = -8, \quad x_2 = 8$$
**Шаг 2: Изобразим корни на числовой прямой и определим знаки**
Нарисуем числовую прямую и отметим на ней найденные корни: -8 и 8. Поскольку неравенство содержит знак "$\ge$" (больше или равно), то точки -8 и 8 включаются в решение, поэтому их обозначаем закрашенными кружочками.
$$----(-8)----(8)----> X$$
Теперь представим, что это график параболы $y = x^2 - 64$. Поскольку коэффициент при $x^2$ (это число 1) положительный, ветви параболы направлены вверх.
Парабола пересекает ось X в точках -8 и 8.
* Левее -8 (например, при $x=-10$), $y = (-10)^2 - 64 = 100 - 64 = 36 > 0$. Значит, здесь парабола находится над осью X.
* Между -8 и 8 (например, при $x=0$), $y = (0)^2 - 64 = -64 < 0$. Значит, здесь парабола находится под осью X.
* Правее 8 (например, при $x=10$), $y = (10)^2 - 64 = 100 - 64 = 36 > 0$. Значит, здесь парабола находится над осью X.
Нам нужно найти такие значения $x$, при которых $x^2 - 64 \ge 0$, то есть, где парабола находится выше или на оси X. Это происходит в интервалах $(-\infty; -8]$ и $[8; +\infty)$.
**Шаг 3: Запишем решение в виде интервала**
$$x \in (-\infty; -8] \cup [8; +\infty)$$
**Шаг 4: Сравним с предложенными вариантами**
1) $[-8; 8]$
2) $(-\infty; -8] \cup [8; +\infty)$
3) нет решений
4) $(-\infty; +\infty)$
Наш ответ совпадает с вариантом 2.
**Ответ: 2**
---
### Задание 8: $x^2 - 49 \ge 0$
Эта задача очень похожа на предыдущую.
**Шаг 1: Найдем корни уравнения $x^2 - 49 = 0$**
$$x^2 = 49$$
$$x = \pm\sqrt{49}$$
$$x_1 = -7, \quad x_2 = 7$$
**Шаг 2: Изобразим корни на числовой прямой и определим знаки**
Отметим на числовой прямой точки -7 и 7. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точки включаются в решение.
$$----(-7)----(7)----> X$$
Снова представляем параболу $y = x^2 - 49$. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), поэтому ветви параболы направлены вверх.
Парабола находится выше или на оси X при $x \le -7$ или $x \ge 7$.
**Шаг 3: Запишем решение в виде интервала**
$$x \in (-\infty; -7] \cup [7; +\infty)$$
**Шаг 4: Сравним с предложенными вариантами**
1) $[-7; 7]$
2) нет решений
3) $(-\infty; -7] \cup [7; +\infty)$
4) $(-\infty; +\infty)$
Наш ответ совпадает с вариантом 3.
**Ответ: 3**
---
### Задание 9: $7x - x^2 \ge 0$
Это тоже квадратное неравенство, но немного другого вида.
**Шаг 1: Найдем корни уравнения $7x - x^2 = 0$**
Чтобы найти корни, вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$$x(7 - x) = 0$$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$$x = 0 \quad \text{или} \quad 7 - x = 0$$
$$x_1 = 0, \quad x_2 = 7$$
**Шаг 2: Изобразим корни на числовой прямой и определим знаки**
Отметим на числовой прямой точки 0 и 7. Неравенство нестрогое ($\ge$), значит, точки включаются в решение.
$$----(0)----(7)----> X$$
Теперь представим параболу $y = 7x - x^2$. Обрати внимание, что коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательный). Это значит, что ветви параболы направлены вниз.
Парабола пересекает ось X в точках 0 и 7.
* Левее 0 (например, при $x=-1$), $y = 7(-1) - (-1)^2 = -7 - 1 = -8 < 0$. Парабола под осью X.
* Между 0 и 7 (например, при $x=1$), $y = 7(1) - (1)^2 = 7 - 1 = 6 > 0$. Парабола над осью X.
* Правее 7 (например, при $x=8$), $y = 7(8) - (8)^2 = 56 - 64 = -8 < 0$. Парабола под осью X.
Нам нужно найти такие значения $x$, при которых $7x - x^2 \ge 0$, то есть, где парабола находится выше или на оси X. Это происходит в интервале $[0; 7]$.
**Шаг 3: Запишем решение в виде интервала**
$$x \in [0; 7]$$
**Шаг 4: Сравним с предложенными вариантами**
К сожалению, в предложенных вариантах для этого задания ([0; +∞), [7; +∞), (-∞; 0] ∪ [7; +∞)) нет точного совпадения с нашим ответом $[0; 7]$. Вероятно, часть вариантов ответа обрезана на изображении. Но мы нашли верное решение.
**Ответ: $[0; 7]$**
