Привет! Отлично, давай разберем эти примеры. Это очень важная тема в математике 7 класса – действия со степенями. Главное здесь — помнить правила:
* При возведении степени в степень показатели умножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
* При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
* Когда произведение возводится в степень, каждый множитель возводится в эту степень: $(ab)^n = a^n b^n$.
* Когда дробь возводится в степень, числитель и знаменатель возводятся в эту степень: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.
* Если отрицательное число возводится в четную степень, получается положительное число. Если в нечетную — отрицательное.
Давай решать по очереди!
### Задание 1
#### 1) a) $20a^3 \cdot (5a)^2$
Шаг 1: Сначала возведем в степень выражение в скобках.
В скобках у нас $(5a)^2$. Это значит, что нужно возвести в квадрат и число 5, и букву $a$.
$$ (5a)^2 = 5^2 \cdot a^2 = 25a^2 $$
Шаг 2: Теперь подставим это обратно в пример и выполним умножение.
У нас получается: $20a^3 \cdot 25a^2$.
Сначала умножаем числа:
$$ 20 \cdot 25 = 500 $$
Затем умножаем степени с одинаковым основанием $a$. При умножении степеней показатели складываются: $a^3 \cdot a^2 = a^{3+2} = a^5$.
Шаг 3: Собираем всё вместе.
$$ 20a^3 \cdot (5a)^2 = 20a^3 \cdot 25a^2 = (20 \cdot 25) \cdot (a^3 \cdot a^2) = 500a^5 $$
**Ответ: $500a^5$**
#### 1) b) $-0.4x^5 \cdot (2x)^4$
Шаг 1: Возведем в степень выражение в скобках.
$$ (2x)^4 = 2^4 \cdot x^4 = 16x^4 $$
Шаг 2: Подставим это в пример и выполним умножение.
У нас получается: $-0.4x^5 \cdot 16x^4$.
Сначала умножаем числа:
$$ -0.4 \cdot 16 $$
Для удобства можно умножить $4 \cdot 16 = 64$, а затем учесть десятичную часть и знак минус.
$$ -0.4 \cdot 16 = -6.4 $$
Затем умножаем степени с одинаковым основанием $x$: $x^5 \cdot x^4 = x^{5+4} = x^9$.
Шаг 3: Собираем всё вместе.
$$ -0.4x^5 \cdot (2x)^4 = -0.4x^5 \cdot 16x^4 = (-0.4 \cdot 16) \cdot (x^5 \cdot x^4) = -6.4x^9 $$
**Ответ: $-6.4x^9$**
### Задание 2
#### 2) a) $(3x^6 y^4)^3 \cdot (-\frac{1}{81}xy^2)$
Шаг 1: Возведем в степень выражение в первых скобках.
Нужно возвести в третью степень каждый множитель внутри скобок: $3$, $x^6$ и $y^4$.
$$ (3x^6 y^4)^3 = 3^3 \cdot (x^6)^3 \cdot (y^4)^3 $$
Вычисляем $3^3$:
$$ 3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 $$
Возводим степени в степень, умножая показатели:
$$ (x^6)^3 = x^{6 \cdot 3} = x^{18} $$
$$ (y^4)^3 = y^{4 \cdot 3} = y^{12} $$
Итак, первая часть примера стала:
$$ 27x^{18}y^{12} $$
Шаг 2: Теперь умножаем полученный результат на вторую часть примера: $27x^{18}y^{12} \cdot (-\frac{1}{81}xy^2)$.
Сначала умножаем числовые коэффициенты:
$$ 27 \cdot (-\frac{1}{81}) $$
Число 27 и число 81 можно сократить на 27 (так как $81 = 3 \cdot 27$).
$$ 27 \cdot (-\frac{1}{81}) = -\frac{27}{81} = -\frac{1}{3} $$
Теперь умножаем переменные с одинаковым основанием, складывая их показатели:
Для $x$: $x^{18} \cdot x^1 = x^{18+1} = x^{19}$. (Помни, если у буквы нет показателя, это значит, что он равен 1.)
Для $y$: $y^{12} \cdot y^2 = y^{12+2} = y^{14}$.
Шаг 3: Собираем всё вместе.
$$ (3x^6 y^4)^3 \cdot (-\frac{1}{81}xy^2) = 27x^{18}y^{12} \cdot (-\frac{1}{81}xy^2) = -\frac{1}{3}x^{19}y^{14} $$
**Ответ: $-\frac{1}{3}x^{19}y^{14}$**
#### 2) b) $(-\frac{2}{3}ab^5)^3 \cdot 18b$
Шаг 1: Возведем в степень выражение в первых скобках.
Возводим каждый множитель в третью степень: $-\frac{2}{3}$, $a$ и $b^5$.
$$ (-\frac{2}{3}ab^5)^3 = (-\frac{2}{3})^3 \cdot a^3 \cdot (b^5)^3 $$
Вычисляем $(-\frac{2}{3})^3$. Так как степень нечетная (3), результат будет отрицательным.
$$ (-\frac{2}{3})^3 = -\frac{2^3}{3^3} = -\frac{8}{27} $$
Возводим степень в степень для $b$:
$$ (b^5)^3 = b^{5 \cdot 3} = b^{15} $$
Итак, первая часть примера стала:
$$ -\frac{8}{27}a^3b^{15} $$
Шаг 2: Теперь умножаем полученный результат на вторую часть примера: $-\frac{8}{27}a^3b^{15} \cdot 18b$.
Сначала умножаем числовые коэффициенты:
$$ -\frac{8}{27} \cdot 18 $$
Число 27 и число 18 можно сократить на 9 (так как $27 = 3 \cdot 9$ и $18 = 2 \cdot 9$).
$$ -\frac{8}{27} \cdot 18 = -\frac{8 \cdot 18}{27} = -\frac{8 \cdot 2}{3} = -\frac{16}{3} $$
Теперь умножаем переменные с одинаковым основанием, складывая их показатели:
Для $a$: у нас есть только $a^3$, второй $a$ нет, значит, он остается $a^3$.
Для $b$: $b^{15} \cdot b^1 = b^{15+1} = b^{16}$.
Шаг 3: Собираем всё вместе.
$$ (-\frac{2}{3}ab^5)^3 \cdot 18b = -\frac{8}{27}a^3b^{15} \cdot 18b = -\frac{16}{3}a^3b^{16} $$
**Ответ: $-\frac{16}{3}a^3b^{16}$**
