Запиши числа 48 и 96 в виде разности квадратов двух простых чисел

Привет! Давай разберёмся с этим интересным заданием про простые числа и квадраты. Нам нужно представить числа 48 и 96 в виде разности квадратов двух простых чисел. Вспомним формулу разности квадратов: $$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$ Здесь $a$ и $b$ должны быть простыми числами. При этом $a$ должно быть больше $b$, чтобы разность была положительной. Заметим, что числа 48 и 96 чётные. Если $a$ и $b$ — простые числа, то $a-b$ и $a+b$ должны быть одного типа (оба чётные или оба нечётные). Если бы $a-b$ и $a+b$ были нечётными, то их произведение было бы нечётным. Но наши числа 48 и 96 чётные. Значит, $a-b$ и $a+b$ должны быть оба чётными. Для того чтобы $a-b$ и $a+b$ были чётными, числа $a$ и $b$ должны быть либо оба чётными, либо оба нечётными. Единственное чётное простое число — это 2. Если бы одно из чисел $a$ или $b$ было 2, а другое нечётным простым числом, то их сумма и разность были бы нечётными. Например, $7-2=5$ (нечётное), $7+2=9$ (нечётное). Так как $a-b$ и $a+b$ должны быть чётными, то $a$ и $b$ должны быть нечётными простыми числами. --- **1. Число 48** Нам нужно найти такие простые числа $a$ и $b$, чтобы $a^2 - b^2 = 48$. Это значит, что $(a-b)(a+b) = 48$. Будем искать пары чётных множителей числа 48, причём первый множитель должен быть меньше второго: - $48 = 2 \cdot 24$ - $48 = 4 \cdot 12$ - $48 = 6 \cdot 8$ Рассмотрим каждую пару: **Случай 1:** $a-b = 2$ и $a+b = 24$. У нас получилась система уравнений: $$ \begin{cases} a - b = 2 \\ a + b = 24 \end{cases} $$ Чтобы найти $a$, сложим два уравнения: $(a-b) + (a+b) = 2 + 24$ $2a = 26$ $a = \frac{26}{2}$ $$a = 13$$ Чтобы найти $b$, вычтем первое уравнение из второго: $(a+b) - (a-b) = 24 - 2$ $2b = 22$ $b = \frac{22}{2}$ $$b = 11$$ Теперь проверим: 13 и 11 — это простые числа. Значит, эта пара подходит! $13^2 - 11^2 = 169 - 121 = 48$. **Случай 2:** $a-b = 4$ и $a+b = 12$. Система уравнений: $$ \begin{cases} a - b = 4 \\ a + b = 12 \end{cases} $$ Сложим уравнения: $2a = 16$ $a = 8$ Число 8 не является простым числом (его можно поделить на 2 и 4, кроме 1 и 8). Значит, эта пара не подходит. **Случай 3:** $a-b = 6$ и $a+b = 8$. Система уравнений: $$ \begin{cases} a - b = 6 \\ a + b = 8 \end{cases} $$ Сложим уравнения: $2a = 14$ $a = 7$ Вычтем первое уравнение из второго: $2b = 2$ $b = 1$ Число 1 не является простым числом. Значит, эта пара не подходит. Итак, для числа 48 мы нашли одно решение. **Ответ: $48 = 13^2 - 11^2$** --- **2. Число 96** Теперь найдём такие простые числа $a$ и $b$, чтобы $a^2 - b^2 = 96$. Это значит, что $(a-b)(a+b) = 96$. Будем искать пары чётных множителей числа 96, причём первый множитель должен быть меньше второго: - $96 = 2 \cdot 48$ - $96 = 4 \cdot 24$ - $96 = 6 \cdot 16$ - $96 = 8 \cdot 12$ Рассмотрим каждую пару: **Случай 1:** $a-b = 2$ и $a+b = 48$. Система уравнений: $$ \begin{cases} a - b = 2 \\ a + b = 48 \end{cases} $$ Сложим уравнения: $2a = 50$ $a = 25$ Число 25 не является простым числом (его можно поделить на 5, кроме 1 и 25). Значит, эта пара не подходит. **Случай 2:** $a-b = 4$ и $a+b = 24$. Система уравнений: $$ \begin{cases} a - b = 4 \\ a + b = 24 \end{cases} $$ Сложим уравнения: $2a = 28$ $a = 14$ Число 14 не является простым числом. Значит, эта пара не подходит. **Случай 3:** $a-b = 6$ и $a+b = 16$. Система уравнений: $$ \begin{cases} a - b = 6 \\ a + b = 16 \end{cases} $$ Сложим уравнения: $2a = 22$ $a = 11$ Вычтем первое уравнение из второго: $2b = 10$ $b = 5$ Теперь проверим: 11 и 5 — это простые числа. Значит, эта пара подходит! $11^2 - 5^2 = 121 - 25 = 96$. **Случай 4:** $a-b = 8$ и $a+b = 12$. Система уравнений: $$ \begin{cases} a - b = 8 \\ a + b = 12 \end{cases} $$ Сложим уравнения: $2a = 20$ $a = 10$ Число 10 не является простым числом. Значит, эта пара не подходит. Итак, для числа 96 мы нашли одно решение. **Ответ: $96 = 11^2 - 5^2$**