Реши квадратные уравнения: $-3x^2+5=2x$, $x^2+5x=0$, $-x^2+8x=0$, $x^2-9=0$, $2x(x-8)=-x-18$

Привет! Отлично, давай разберемся с этими квадратными уравнениями шаг за шагом. Это очень важная тема в математике, и если понять основные принципы, то решать их будет совсем несложно. Начнем с каждого уравнения по порядку. ### 9. $-3x^2+5=2x$ Это квадратное уравнение, но оно пока не в привычном для нас виде $ax^2+bx+c=0$. Нам нужно перенести все слагаемые в одну сторону, чтобы справа остался ноль. **Шаг 1: Приведем уравнение к стандартному виду.** Перенесем $2x$ из правой части уравнения в левую, изменив знак на противоположный. $$-3x^2 - 2x + 5 = 0$$ Иногда бывает удобнее, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным. Для этого можно умножить все уравнение на $-1$. $$(-1) \cdot (-3x^2 - 2x + 5) = (-1) \cdot 0$$ $$3x^2 + 2x - 5 = 0$$ **Шаг 2: Определим коэффициенты $a$, $b$, $c$.** В уравнении $3x^2 + 2x - 5 = 0$: $a = 3$ (это число перед $x^2$) $b = 2$ (это число перед $x$) $c = -5$ (это свободный член, число без $x$) **Шаг 3: Найдем дискриминант ($D$).** Дискриминант помогает нам понять, сколько у уравнения будет решений. Формула для дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. $$D = (2)^2 - 4 \cdot (3) \cdot (-5)$$ $$D = 4 - (-60)$$ $$D = 4 + 60$$ $$D = 64$$ Так как дискриминант $D > 0$, у нас будет два разных корня (решения). **Шаг 4: Найдем корни уравнения по формуле.** Формула для нахождения корней: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. $$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3}$$ $$x_1 = \frac{-2 + 8}{6}$$ $$x_1 = \frac{6}{6}$$ $$x_1 = 1$$ $$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3}$$ $$x_2 = \frac{-2 - 8}{6}$$ $$x_2 = \frac{-10}{6}$$ $$x_2 = -\frac{5}{3}$$ **Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -\frac{5}{3}$** --- ### 12. $x^2+5x=0$ Это неполное квадратное уравнение, потому что в нем нет свободного члена (числа без $x$). Такие уравнения очень удобно решать с помощью вынесения общего множителя за скобки. **Шаг 1: Вынесем общий множитель за скобки.** У нас есть $x^2$ и $5x$. Общий множитель здесь — это $x$. $$x(x+5) = 0$$ **Шаг 2: Приравняем каждый множитель к нулю.** Если произведение двух чисел равно нулю, значит, хотя бы одно из этих чисел должно быть равно нулю. Поэтому у нас есть два случая: Случай 1: $x = 0$ Случай 2: $x+5 = 0$ **Шаг 3: Решим каждое простое уравнение.** Из Случая 1: $$x_1 = 0$$ Из Случая 2: $$x+5 = 0$$ $$x = -5$$ $$x_2 = -5$$ **Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = -5$}** --- ### 14. $-x^2+8x=0$ Это тоже неполное квадратное уравнение (нет свободного члена). Решаем так же, как и предыдущее, вынося общий множитель. **Шаг 1: Вынесем общий множитель за скобки.** Общий множитель здесь $x$. Если хочется, чтобы перед $x$ в скобке не было минуса, можно вынести $-x$. $$-x(x-8) = 0$$ **Шаг 2: Приравняем каждый множитель к нулю.** Случай 1: $-x = 0$ Случай 2: $x-8 = 0$ **Шаг 3: Решим каждое простое уравнение.** Из Случая 1: $$-x = 0$$ $$x_1 = 0$$ Из Случая 2: $$x-8 = 0$$ $$x = 8$$ $$x_2 = 8$$ **Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 8$}** --- ### 16. $x^2-9=0$ Это еще одно неполное квадратное уравнение. В нем нет слагаемого с $x$ в первой степени (то есть $b=0$). Такие уравнения можно решать двумя способами: либо перенести число вправо и извлечь корень, либо использовать формулу разности квадратов. Давай рассмотрим оба способа. **Способ 1: Перенос числа и извлечение корня.** **Шаг 1: Изолируем $x^2$.** Перенесем $-9$ в правую часть уравнения, изменив знак. $$x^2 = 9$$ **Шаг 2: Извлечем квадратный корень.** Помни, что квадратный корень из числа может быть как положительным, так и отрицательным. $$x = \pm\sqrt{9}$$ $$x_1 = 3$$ $$x_2 = -3$$ **Способ 2: Использование формулы разности квадратов.** Формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. **Шаг 1: Представим уравнение как разность квадратов.** Заметим, что $9 = 3^2$. $$x^2 - 3^2 = 0$$ **Шаг 2: Разложим на множители.** $$(x-3)(x+3) = 0$$ **Шаг 3: Приравняем каждый множитель к нулю.** Случай 1: $x-3 = 0$ Случай 2: $x+3 = 0$ **Шаг 4: Решим каждое простое уравнение.** Из Случая 1: $$x-3 = 0$$ $$x_1 = 3$$ Из Случая 2: $$x+3 = 0$$ $$x_2 = -3$$ Оба способа дают один и тот же результат. Выбирай тот, который тебе удобнее! **Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = -3$}** --- ### 19. $2x(x-8)=-x-18$ Это уравнение выглядит немного сложнее, но не пугайся! Первым делом нужно раскрыть скобки и собрать все слагаемые в одной части, чтобы получить стандартное квадратное уравнение. **Шаг 1: Раскроем скобки.** Умножим $2x$ на каждый член в скобках. $$2x \cdot x - 2x \cdot 8 = -x - 18$$ $$2x^2 - 16x = -x - 18$$ **Шаг 2: Перенесем все слагаемые в одну сторону.** Перенесем $-x$ и $-18$ из правой части в левую, изменив знаки на противоположные. $$2x^2 - 16x + x + 18 = 0$$ **Шаг 3: Приведем подобные слагаемые.** У нас есть $-16x$ и $+x$. Сложим их. $$-16x + x = -15x$$ Получаем: $$2x^2 - 15x + 18 = 0$$ **Шаг 4: Определим коэффициенты $a$, $b$, $c$.** В уравнении $2x^2 - 15x + 18 = 0$: $a = 2$ $b = -15$ $c = 18$ **Шаг 5: Найдем дискриминант ($D$).** Формула: $D = b^2 - 4ac$. $$D = (-15)^2 - 4 \cdot (2) \cdot (18)$$ $$D = 225 - 144$$ $$D = 81$$ Так как $D > 0$, у нас будет два разных корня. **Шаг 6: Найдем корни уравнения по формуле.** Формула: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. $$x_1 = \frac{-(-15) + \sqrt{81}}{2 \cdot 2}$$ $$x_1 = \frac{15 + 9}{4}$$ $$x_1 = \frac{24}{4}$$ $$x_1 = 6$$ $$x_2 = \frac{-(-15) - \sqrt{81}}{2 \cdot 2}$$ $$x_2 = \frac{15 - 9}{4}$$ $$x_2 = \frac{6}{4}$$ $$x_2 = \frac{3}{2}$$ Можно записать как десятичную дробь: $x_2 = 1.5$. **Ответ: $x_1 = 6$, $x_2 = 1.5$ или $x_2 = \frac{3}{2}$}