Значение какого из выражений является рациональным?

Привет! Давай разберемся, что такое рациональное число, а потом решим эти задачки шаг за шагом. **Что такое рациональное число?** Рациональное число — это такое число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — это целое число (например, 0, 1, -5, 100), а $q$ — натуральное число (то есть 1, 2, 3 и так далее, но не 0!). Проще говоря, это число, которое можно записать как целое число или как обыкновенную дробь. Например, 5 (это $\frac{5}{1}$), 0,5 (это $\frac{1}{2}$), $-3$ (это $\frac{-3}{1}$) — все это рациональные числа. А вот числа, такие как $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$ (пи) — это иррациональные числа, потому что их нельзя записать в виде обычной дроби, и их десятичная запись бесконечна и непериодична. Теперь приступим к решению задач! ### Задание 578. Значение какого из выражений является рациональным? Нужно проверить каждое выражение. 1. **Выражение $\sqrt{20} \cdot \sqrt{5}$** * Мы можем объединить числа под одним корнем, используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$. * Получаем: $$ \sqrt{20} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{20 \cdot 5} $$ * Выполняем умножение под корнем: $$ \sqrt{100} $$ * Извлекаем квадратный корень из 100: $$ \sqrt{100} = 10 $$ * Число 10 является целым числом, а значит, его можно записать как $\frac{10}{1}$. Это рациональное число. 2. **Выражение $\sqrt{\frac{24}{42}}$** * Сначала упростим дробь внутри корня. Числитель 24 и знаменатель 42 оба делятся на 6. * Делим 24 на 6: $24 \div 6 = 4$. * Делим 42 на 6: $42 \div 6 = 7$. * Дробь становится $\frac{4}{7}$. * Теперь выражение выглядит так: $$ \sqrt{\frac{4}{7}} $$ * Используем свойство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$: $$ \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}} $$ * В знаменателе остался корень из 7, который является иррациональным числом. Это выражение не является рациональным. 3. **Выражение $\sqrt{7}(\sqrt{7} + \sqrt{12})$** * Раскроем скобки, умножая $\sqrt{7}$ на каждое слагаемое внутри скобок: $$ \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} + \sqrt{7} \cdot \sqrt{12} $$ * Первое слагаемое: $\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = 7$. * Второе слагаемое: $\sqrt{7} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{7 \cdot 12} = \sqrt{84}$. * Теперь попробуем упростить $\sqrt{84}$. Число 84 можно представить как $4 \cdot 21$. $$ \sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{21} = 2\sqrt{21} $$ * Значит, все выражение равно: $$ 7 + 2\sqrt{21} $$ * В этом выражении есть $2\sqrt{21}$, которое является иррациональным числом. Поэтому все выражение не является рациональным. 4. **Выражение $(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2$** * Это квадрат суммы, используем формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. * Здесь $a = \sqrt{7}$ и $b = \sqrt{3}$. * Получаем: $$ (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 $$ * Вычисляем квадраты и произведение: $$ 7 + 2\sqrt{7 \cdot 3} + 3 $$ $$ 7 + 2\sqrt{21} + 3 $$ * Складываем целые числа: $$ 10 + 2\sqrt{21} $$ * В этом выражении есть $2\sqrt{21}$, которое является иррациональным числом. Поэтому все выражение не является рациональным. Итак, только первое выражение дало рациональное число. **Ответ: 1** ### Задание 579. Значение какого из выражений является рациональным? Снова проверяем каждое выражение. 1. **Выражение $\sqrt{8} \cdot \sqrt{12}$** * Объединяем под один корень: $$ \sqrt{8 \cdot 12} $$ * Выполняем умножение: $$ \sqrt{96} $$ * Упрощаем корень из 96. Число 96 можно разложить на множители, один из которых – полный квадрат, например $16 \cdot 6$: $$ \sqrt{16 \cdot 6} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{6} = 4\sqrt{6} $$ * В этом выражении есть $\sqrt{6}$, которое является иррациональным числом. Это выражение не является рациональным. 2. **Выражение $\sqrt{\frac{10}{40}}$** * Сначала упростим дробь внутри корня. Числитель 10 и знаменатель 40 делятся на 10. * Делим 10 на 10: $10 \div 10 = 1$. * Делим 40 на 10: $40 \div 10 = 4$. * Дробь становится $\frac{1}{4}$. * Теперь выражение выглядит так: $$ \sqrt{\frac{1}{4}} $$ * Извлекаем квадратный корень из числителя и знаменателя: $$ \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2} $$ * Число $\frac{1}{2}$ является обыкновенной дробью, то есть это рациональное число. 3. **Выражение $\sqrt{14}(\sqrt{14} + \sqrt{5})$** * Раскроем скобки, умножая $\sqrt{14}$ на каждое слагаемое: $$ \sqrt{14} \cdot \sqrt{14} + \sqrt{14} \cdot \sqrt{5} $$ * Первое слагаемое: $\sqrt{14} \cdot \sqrt{14} = 14$. * Второе слагаемое: $\sqrt{14} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{14 \cdot 5} = \sqrt{70}$. * Значит, все выражение равно: $$ 14 + \sqrt{70} $$ * В этом выражении есть $\sqrt{70}$, которое является иррациональным числом (70 не является полным квадратом, и его нельзя упростить до целого числа или рациональной дроби). Это выражение не является рациональным. 4. **Выражение $(\sqrt{14} + \sqrt{3})^2$** * Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. * Здесь $a = \sqrt{14}$ и $b = \sqrt{3}$. * Получаем: $$ (\sqrt{14})^2 + 2 \cdot \sqrt{14} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 $$ * Вычисляем квадраты и произведение: $$ 14 + 2\sqrt{14 \cdot 3} + 3 $$ $$ 14 + 2\sqrt{42} + 3 $$ * Складываем целые числа: $$ 17 + 2\sqrt{42} $$ * В этом выражении есть $2\sqrt{42}$, которое является иррациональным числом. Это выражение не является рациональным. Итак, только второе выражение дало рациональное число. **Ответ: 2**