Сократи дробь

Привет! Отлично, давай разберемся с сокращением дробей. Это очень похоже на то, как мы сокращаем обычные дроби, только теперь у нас еще есть буквы – переменные с разными степенями. Главное правило такое: * Числа в числителе (сверху) и знаменателе (снизу) делим на их наибольший общий делитель. * Переменные сокращаем, вычитая степени. Если переменная есть и сверху, и снизу, то она останется там, где степень больше, а из большей степени мы вычитаем меньшую. Давай по порядку. **а) Сократим дробь** $$ \frac{10xz}{15yz} $$ 1. **Сокращаем числа:** У нас есть числа 10 и 15. Наибольший общий делитель для них — это 5. * $10 \div 5 = 2$ * $15 \div 5 = 3$ Теперь дробь выглядит как $\frac{2xz}{3yz}$. 2. **Сокращаем переменные:** * Буква $x$: есть только в числителе, так что она остается. * Буква $y$: есть и в числителе ($y^1$), и в знаменателе ($y^1$). Они сокращаются полностью ($y^1 \div y^1 = y^{1-1} = y^0 = 1$). * Буква $z$: есть и в числителе ($z^1$), и в знаменателе ($z^1$). Они тоже сокращаются полностью ($z^1 \div z^1 = z^{1-1} = z^0 = 1$). После сокращения переменных $y$ и $z$ у нас остается только $x$ в числителе. Таким образом, получаем: $$ \frac{10xz}{15yz} = \frac{2x}{3y} $$ **Ответ: $\frac{2x}{3y}$** **б) Сократим дробь** $$ \frac{6ab^2}{9bc^2} $$ 1. **Сокращаем числа:** У нас есть 6 и 9. Наибольший общий делитель для них — это 3. * $6 \div 3 = 2$ * $9 \div 3 = 3$ Получаем: $\frac{2ab^2}{3bc^2}$. 2. **Сокращаем переменные:** * Буква $a$: есть только в числителе, остается. * Буква $b$: в числителе $b^2$, в знаменателе $b^1$. Вычитаем степени: $b^{2-1} = b^1 = b$. Эта $b$ останется в числителе, потому что там была большая степень. * Буква $c$: есть только в знаменателе ($c^2$), остается. Итак, получаем: $$ \frac{6ab^2}{9bc^2} = \frac{2ab}{3c^2} $$ **Ответ: $\frac{2ab}{3c^2}$** **в) Сократим дробь** $$ \frac{2ay^3}{-4a^2b} $$ 1. **Сокращаем числа:** У нас есть 2 и -4. Наибольший общий делитель для 2 и 4 — это 2. * $2 \div 2 = 1$ * $-4 \div 2 = -2$ Минус в знаменателе можно поставить перед всей дробью или оставить в знаменателе, это не меняет значения. Пусть пока будет в знаменателе. Получаем: $\frac{1ay^3}{-2a^2b} = \frac{ay^3}{-2a^2b}$. 2. **Сокращаем переменные:** * Буква $a$: в числителе $a^1$, в знаменателе $a^2$. Вычитаем степени: $a^{2-1} = a^1 = a$. Эта $a$ останется в знаменателе, потому что там была большая степень. * Буква $y$: есть только в числителе ($y^3$), остается. * Буква $b$: есть только в знаменателе ($b^1$), остается. Итак, получаем: $$ \frac{2ay^3}{-4a^2b} = \frac{y^3}{-2ab} $$ Часто минус принято выносить перед дробью: $$ -\frac{y^3}{2ab} $$ **Ответ: $-\frac{y^3}{2ab}$** **г) Сократим дробь** $$ \frac{6p^2q}{-2q^3} $$ 1. **Сокращаем числа:** У нас есть 6 и -2. Наибольший общий делитель для 6 и 2 — это 2. * $6 \div 2 = 3$ * $-2 \div 2 = -1$ Получаем: $\frac{3p^2q}{-1q^3} = \frac{3p^2q}{-q^3}$. 2. **Сокращаем переменные:** * Буква $p$: есть только в числителе ($p^2$), остается. * Буква $q$: в числителе $q^1$, в знаменателе $q^3$. Вычитаем степени: $q^{3-1} = q^2$. Эта $q^2$ останется в знаменателе, потому что там была большая степень. Итак, получаем: $$ \frac{6p^2q}{-2q^3} = \frac{3p^2}{-q^2} $$ И, как и в предыдущем примере, минус обычно выносят перед дробью: $$ -\frac{3p^2}{q^2} $$ **Ответ: $-\frac{3p^2}{q^2}$** **д) Сократим дробь** $$ \frac{4a^2c^2}{36ac} $$ 1. **Сокращаем числа:** У нас есть 4 и 36. Наибольший общий делитель для них — это 4. * $4 \div 4 = 1$ * $36 \div 4 = 9$ Получаем: $\frac{1a^2c^2}{9ac} = \frac{a^2c^2}{9ac}$. 2. **Сокращаем переменные:** * Буква $a$: в числителе $a^2$, в знаменателе $a^1$. Вычитаем степени: $a^{2-1} = a^1 = a$. Эта $a$ останется в числителе. * Буква $c$: в числителе $c^2$, в знаменателе $c^1$. Вычитаем степени: $c^{2-1} = c^1 = c$. Эта $c$ останется в числителе. Итак, получаем: $$ \frac{4a^2c^2}{36ac} = \frac{ac}{9} $$ **Ответ: $\frac{ac}{9}$** **е) Сократим дробь** $$ \frac{63x^2y^3}{42x^6y^4} $$ 1. **Сокращаем числа:** У нас есть 63 и 42. Давай найдем их наибольший общий делитель. Можно заметить, что оба числа делятся на 7: * $63 \div 7 = 9$ * $42 \div 7 = 6$ Теперь у нас $\frac{9}{6}$. Эти числа тоже можно сократить, они оба делятся на 3: * $9 \div 3 = 3$ * $6 \div 3 = 2$ Значит, числовая часть дроби сокращается до $\frac{3}{2}$. Получаем: $\frac{3x^2y^3}{2x^6y^4}$. 2. **Сокращаем переменные:** * Буква $x$: в числителе $x^2$, в знаменателе $x^6$. Вычитаем степени: $x^{6-2} = x^4$. Эта $x^4$ останется в знаменателе, потому что там была большая степень. * Буква $y$: в числителе $y^3$, в знаменателе $y^4$. Вычитаем степени: $y^{4-3} = y^1 = y$. Эта $y$ останется в знаменателе, потому что там была большая степень. Итак, получаем: $$ \frac{63x^2y^3}{42x^6y^4} = \frac{3}{2x^4y} $$ **Ответ: $\frac{3}{2x^4y}$**