Найди значение выражения 1/(2-sqrt(3)), 1/(3-sqrt(7)) и 3*sqrt(12)

Привет! С удовольствием помогу тебе разобраться с этими задачками. Давай решим их по очереди, шаг за шагом. ### Задача 540 Нам нужно найти значение выражения $\frac{1}{2-\sqrt{3}}$. Здесь, чтобы упростить выражение, нужно избавиться от корня в знаменателе. Для этого мы умножим и числитель, и знаменатель на выражение, которое называется "сопряжённым" к знаменателю. Если в знаменателе $2-\sqrt{3}$, то сопряжённое к нему выражение будет $2+\sqrt{3}$. Вот как это делается: 1. **Записываем исходное выражение:** $$ \frac{1}{2-\sqrt{3}} $$ 2. **Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:** $$ \frac{1}{2-\sqrt{3}} \cdot \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} $$ Заметь, что $\frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$ равно 1, поэтому мы не меняем значение дроби, а просто преобразуем её вид. 3. **Раскрываем скобки в числителе и знаменателе:** В числителе $1 \cdot (2+\sqrt{3}) = 2+\sqrt{3}$. В знаменателе у нас формула "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Здесь $a=2$, а $b=\sqrt{3}$. Значит, $(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2$. 4. **Вычисляем квадраты:** $2^2 = 4$ $(\sqrt{3})^2 = 3$ Подставляем эти значения обратно в выражение: $$ \frac{2+\sqrt{3}}{4 - 3} $$ 5. **Упрощаем знаменатель:** $$ \frac{2+\sqrt{3}}{1} = 2+\sqrt{3} $$ **Ответ: 4) $2+\sqrt{3}$** ### Задача 541 Теперь решим второе похожее выражение: $\frac{1}{3-\sqrt{7}}$. Принцип тот же: избавляемся от иррациональности в знаменателе, умножая на сопряжённое выражение. Сопряжённое к $3-\sqrt{7}$ будет $3+\sqrt{7}$. 1. **Записываем исходное выражение:** $$ \frac{1}{3-\sqrt{7}} $$ 2. **Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:** $$ \frac{1}{3-\sqrt{7}} \cdot \frac{3+\sqrt{7}}{3+\sqrt{7}} $$ 3. **Раскрываем скобки:** В числителе: $1 \cdot (3+\sqrt{7}) = 3+\sqrt{7}$. В знаменателе снова используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2$. Здесь $a=3$, а $b=\sqrt{7}$. Значит, $(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7}) = 3^2 - (\sqrt{7})^2$. 4. **Вычисляем квадраты:** $3^2 = 9$ $(\sqrt{7})^2 = 7$ Подставляем эти значения: $$ \frac{3+\sqrt{7}}{9 - 7} $$ 5. **Упрощаем знаменатель:** $$ \frac{3+\sqrt{7}}{2} $$ **Ответ: 3) $\frac{3+\sqrt{7}}{2}$** ### Задача 543 Нам нужно найти значение выражения $3\sqrt{12}$. Здесь наша задача — упростить корень $\sqrt{12}$. Для этого нужно найти в числе 12 такой множитель, из которого можно извлечь целый корень. 1. **Записываем исходное выражение:** $$ 3\sqrt{12} $$ 2. **Разложим число 12 на множители так, чтобы один из них был полным квадратом:** Число 12 можно представить как $4 \cdot 3$. Мы знаем, что 4 — это $2^2$, то есть из 4 можно извлечь квадратный корень, и он будет равен 2. $$ 3\sqrt{4 \cdot 3} $$ 3. **Используем свойство корней $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$:** $$ 3 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} $$ 4. **Извлекаем корень из 4:** $$ 3 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} $$ 5. **Перемножаем числа, которые стоят перед корнем:** $$ 6\sqrt{3} $$ Теперь посмотрим на предложенные варианты ответов и проверим, какой из них равен $6\sqrt{3}$: 1. $\sqrt{36}$ — это 6. Не подходит. 2. $6$ — это 6. Не подходит. 3. $36$ — это 36. Не подходит. 4. $\sqrt{108}$ — давай попробуем упростить этот корень: Разложим 108 на множители: $108 = 36 \cdot 3$. А 36 — это $6^2$. Значит, $\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$. Этот вариант подходит! **Ответ: 4) $\sqrt{108}$**