Найди значение выражения $\sqrt{a^8 \cdot (-a)^4}$ при $a = 2$

Привет! Давай разберем эту задачку шаг за шагом. Это выражение кажется немного сложным из-за знаков и степеней, но если действовать по порядку, все получится! Нам нужно найти значение выражения $\sqrt{a^8 \cdot (-a)^4}$ при $a = 2$. **Шаг 1: Упростим выражение внутри корня.** Посмотри внимательно на $(-a)^4$. Что это значит? Это значит $(-a) \cdot (-a) \cdot (-a) \cdot (-a)$. Когда мы умножаем отрицательное число на себя четное количество раз (в нашем случае 4 раза), результат всегда будет положительным. Например, $(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) \cdot (-2) = -8 \cdot (-2) = 16$. А $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$. Значит, $(-a)^4$ всегда равно $a^4$. Теперь наше выражение выглядит так: $$a^8 \cdot (-a)^4 = a^8 \cdot a^4$$ **Шаг 2: Продолжим упрощать выражение, используя свойства степеней.** Когда мы умножаем степени с одинаковым основанием (в нашем случае $a$), мы складываем их показатели. $$a^8 \cdot a^4 = a^{8+4} = a^{12}$$ Итак, все выражение под корнем стало $a^{12}$. **Шаг 3: Извлечем квадратный корень.** Теперь нам нужно найти $\sqrt{a^{12}}$. Помни, что квадратный корень из числа в степени можно найти, разделив показатель степени на 2. $$\sqrt{a^{12}} = a^{12/2} = a^6$$ Важно помнить, что $\sqrt{x^2} = |x|$, то есть модуль числа. В нашем случае, $\sqrt{a^{12}} = |a^6|$. Поскольку $a=2$ — положительное число, $a^6$ тоже будет положительным, поэтому модуль можно не писать. **Шаг 4: Подставим значение $a = 2$ в упрощенное выражение.** Мы упростили наше выражение до $a^6$. Теперь вместо $a$ подставим 2: $$2^6$$ **Шаг 5: Вычислим результат.** $2^6$ это $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$. $2 \cdot 2 = 4$ $4 \cdot 2 = 8$ $8 \cdot 2 = 16$ $16 \cdot 2 = 32$ $32 \cdot 2 = 64$ Значит, $2^6 = 64$. Итак, подытожим: Изначальное выражение: $\sqrt{a^8 \cdot (-a)^4}$ При $a = 2$. 1. Упрощаем $(-a)^4$: $$(-a)^4 = a^4$$ 2. Подставляем это обратно в выражение под корнем: $$\sqrt{a^8 \cdot a^4}$$ 3. Складываем показатели степеней: $$\sqrt{a^{8+4}} = \sqrt{a^{12}}$$ 4. Извлекаем квадратный корень: $$\sqrt{a^{12}} = a^{12/2} = a^6$$ 5. Подставляем значение $a=2$: $$2^6$$ 6. Вычисляем: $$2^6 = 64$$ **Ответ: 64**