Реши уравнение $5^{\sqrt{x+5}} = 25^{x+5}$

Привет! Давай решим это уравнение вместе. У нас есть уравнение: $$5^{\sqrt{x+5}} = 25^{x+5}$$ Первый шаг - это представить число 25 как степень числа 5, то есть $25 = 5^2$. Тогда уравнение примет вид: $$5^{\sqrt{x+5}} = (5^2)^{x+5}$$ Теперь мы можем упростить правую часть, используя свойство степеней $(a^b)^c = a^{b \cdot c}$: $$5^{\sqrt{x+5}} = 5^{2(x+5)}$$ Поскольку основания степеней одинаковые (5), мы можем приравнять показатели: $$\sqrt{x+5} = 2(x+5)$$ Теперь, чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат: $$(\sqrt{x+5})^2 = (2(x+5))^2$$ $$x+5 = 4(x+5)^2$$ Раскроем скобки в правой части: $$x+5 = 4(x^2 + 10x + 25)$$ $$x+5 = 4x^2 + 40x + 100$$ Теперь перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение: $$0 = 4x^2 + 40x + 100 - x - 5$$ $$0 = 4x^2 + 39x + 95$$ Решим квадратное уравнение $4x^2 + 39x + 95 = 0$. Для этого используем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac$$ $$D = 39^2 - 4 \cdot 4 \cdot 95 = 1521 - 1520 = 1$$ Теперь найдем корни уравнения: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-39 + \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{-39 + 1}{8} = \frac{-38}{8} = -4.75$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-39 - \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{-39 - 1}{8} = \frac{-40}{8} = -5$$ Теперь проверим, подходят ли найденные корни в исходное уравнение $\sqrt{x+5} = 2(x+5)$. 1. Проверка $x_1 = -4.75$: $$\sqrt{-4.75+5} = 2(-4.75+5)$$ $$\sqrt{0.25} = 2(0.25)$$ $$0.5 = 0.5$$ Корень $x_1 = -4.75$ подходит. 2. Проверка $x_2 = -5$: $$\sqrt{-5+5} = 2(-5+5)$$ $$\sqrt{0} = 2(0)$$ $$0 = 0$$ Корень $x_2 = -5$ подходит. Таким образом, оба корня подходят. **Ответ: -4.75, -5**