Докажи, что a³ + b³ + (b(2a³ + b³)/(a³ - b³))³ = (a(a³ + 2b³)/(a³ - b³))³

Давай докажем это равенство! Итак, у нас есть выражение: $$a^3 + b^3 + \left( \frac{b(2a^3 + b^3)}{a^3 - b^3} \right)^3 = \left( \frac{a(a^3 + 2b^3)}{a^3 - b^3} \right)^3$$ Наша задача — показать, что левая часть равна правой. Преобразуем левую часть: $$a^3 + b^3 + \frac{b^3(2a^3 + b^3)^3}{(a^3 - b^3)^3} = \frac{a^3(a^3 - b^3)^3 + b^3(a^3 - b^3)^3 + b^3(2a^3 + b^3)^3}{(a^3 - b^3)^3}$$ Теперь преобразуем правую часть: $$\frac{a^3(a^3 + 2b^3)^3}{(a^3 - b^3)^3}$$ Чтобы доказать равенство, нам нужно показать, что числители левой и правой частей равны: $$a^3(a^3 - b^3)^3 + b^3(a^3 - b^3)^3 + b^3(2a^3 + b^3)^3 = a^3(a^3 + 2b^3)^3$$ Раскроем скобки и упростим выражение: $$a^3(a^9 - 3a^6b^3 + 3a^3b^6 - b^9) + b^3(a^9 - 3a^6b^3 + 3a^3b^6 - b^9) + b^3(8a^9 + 12a^6b^3 + 6a^3b^6 + b^9) = a^3(a^9 + 6a^6b^3 + 12a^3b^6 + 8b^9)$$ $$a^{12} - 3a^9b^3 + 3a^6b^6 - a^3b^9 + a^9b^3 - 3a^6b^6 + 3a^3b^9 - b^{12} + 8a^9b^3 + 12a^6b^6 + 6a^3b^9 + b^{12} = a^{12} + 6a^9b^3 + 12a^6b^6 + 8a^3b^9$$ Приведем подобные члены: $$a^{12} + (-3 + 1 + 8)a^9b^3 + (3 - 3 + 12)a^6b^6 + (-1 + 3 + 6)a^3b^9 - b^{12} + b^{12} = a^{12} + 6a^9b^3 + 12a^6b^6 + 8a^3b^9$$ $$a^{12} + 6a^9b^3 + 12a^6b^6 + 8a^3b^9 = a^{12} + 6a^9b^3 + 12a^6b^6 + 8a^3b^9$$ Как мы видим, левая часть равна правой части. Следовательно, исходное равенство верно. Итог: Мы доказали, что $a^3 + b^3 + \left( \frac{b(2a^3 + b^3)}{a^3 - b^3} \right)^3 = \left( \frac{a(a^3 + 2b^3)}{a^3 - b^3} \right)^3$.