Решите неравенство: (х-2)(х+1)/х-4<0

Привет! Давай решим это неравенство вместе. Сначала определим нули числителя и знаменателя. Это точки, в которых выражение меняет знак. * Числитель: $(x-2)(x+1) = 0$. Здесь $x = 2$ или $x = -1$. * Знаменатель: $x - 4 = 0$. Здесь $x = 4$. Теперь отметим эти точки на числовой прямой: ``` ----(-1)----(2)----(4)-----> X ``` Эти точки разбивают числовую прямую на четыре интервала: 1. $x < -1$ 2. $-1 < x < 2$ 3. $2 < x < 4$ 4. $x > 4$ Определим знак выражения $(x-2)(x+1)/(x-4)$ на каждом из этих интервалов. Для этого выберем по одному числу из каждого интервала и подставим в выражение. 1. $x < -1$. Возьмем $x = -2$: $$\frac{(-2-2)(-2+1)}{-2-4} = \frac{(-4)(-1)}{-6} = \frac{4}{-6} < 0$$ Значит, на этом интервале выражение отрицательное. 2. $-1 < x < 2$. Возьмем $x = 0$: $$\frac{(0-2)(0+1)}{0-4} = \frac{(-2)(1)}{-4} = \frac{-2}{-4} > 0$$ Значит, на этом интервале выражение положительное. 3. $2 < x < 4$. Возьмем $x = 3$: $$\frac{(3-2)(3+1)}{3-4} = \frac{(1)(4)}{-1} = \frac{4}{-1} < 0$$ Значит, на этом интервале выражение отрицательное. 4. $x > 4$. Возьмем $x = 5$: $$\frac{(5-2)(5+1)}{5-4} = \frac{(3)(6)}{1} = \frac{18}{1} > 0$$ Значит, на этом интервале выражение положительное. Нам нужно найти интервалы, где выражение меньше нуля. Это интервалы $x < -1$ и $2 < x < 4$. Важно помнить, что точка $x = 4$ не входит в решение, так как в этой точке знаменатель равен нулю, и выражение не определено. Точки $x = -1$ и $x = 2$ входят в решение. Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (2; 4)$.