Решение

День 24. Среда.

Задание 24-1. Опровергните с помощью контрпримера утверждение: а) если $a + b > 0$, то $a$ и $b$ – положительные числа; б) если $ab > 0$, то $a$ и $b$ – положительные числа.

Решение: а) Контрпример: $a = -1$, $b = 5$. Тогда $a + b = -1 + 5 = 4 > 0$, но $a = -1$ – отрицательное число. б) Контрпример: $a = -2$, $b = -3$. Тогда $ab = (-2) \cdot (-3) = 6 > 0$, но $a = -2$ и $b = -3$ – отрицательные числа.

Задание 24-2. Выполните задания и проиллюстрируйте каждый случай конкретным примером. а) Известно, что $a$ и $b$ – положительные целые числа, причем $a < b$. Сравните $-a$ и $-b$. б) Известно, что $a$ и $b$ – отрицательные целые числа, причем $a < b$. Сравните $-a$ и $-b$. в) Известно, что $a$ и $b$ – целые числа разных знаков, причем $a < b$. Сравните $-a$ и $-b$.

Решение: а) Если $a$ и $b$ положительные, и $a < b$, то $-a > -b$. Например, $a = 2$, $b = 5$. Тогда $-a = -2$, $-b = -5$, и $-2 > -5$. б) Если $a$ и $b$ отрицательные, и $a < b$, то $-a > -b$. Например, $a = -5$, $b = -2$. Тогда $-a = 5$, $-b = 2$, и $5 > 2$. в) Если $a$ и $b$ разных знаков, и $a < b$, то $a$ - отрицательное, $b$ - положительное. Значит, $-a > 0$ и $-b < 0$, следовательно $-a > -b$. Например, $a = -2$, $b = 3$. Тогда $-a = 2$, $-b = -3$, и $2 > -3$.

День 25. Четверг.

Задача 25-1. Два угла имеют общую сторону $AM$. Какую градусную меру может иметь угол $BAC$, если угол $BAM$ равен $115°$, а угол $MAC$ равен $40°$? Сделайте чертеж.

Решение: Угол $BAC$ может быть либо суммой углов $BAM$ и $MAC$, либо их разностью. Сумма: $BAC = BAM + MAC = 115° + 40° = 155°$. Разность: $BAC = BAM - MAC = 115° - 40° = 75°$.

Ответ: Угол $BAC$ может быть равен $155°$ или $75°$.

Задача 25-2. Найдите площадь прямоугольника, если одна из его сторон равна $2,8$ см, а другая – на $0,35$ см больше.

Решение: Длина одной стороны $a = 2,8$ см. Длина другой стороны $b = a + 0,35 = 2,8 + 0,35 = 3,15$ см. Площадь прямоугольника $S = a \cdot b = 2,8 \cdot 3,15 = 8,82$ см².

Ответ: Площадь прямоугольника равна $8,82$ см².

День 26. Пятница.

Задача 26-1. Лошадь съедает воз сена за месяц, коза – за два месяца, овца – за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца съедят такой же воз сена?

Решение: Лошадь съедает $\frac{1}{1}$ воза в месяц. Коза съедает $\frac{1}{2}$ воза в месяц. Овца съедает $\frac{1}{3}$ воза в месяц. Вместе они съедают $\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{6}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{11}{6}$ воза в месяц. Значит, воз сена они съедят за $\frac{1}{\frac{11}{6}} = \frac{6}{11}$ месяца.

Ответ: Лошадь, коза и овца вместе съедят воз сена за $\frac{6}{11}$ месяца.

Задача 26-2. Летели галки и сели на палки. Если на каждую палку сядет по галке, то одной галке не хватит палки, а если на каждую палку сядут по две галки, то одна палка останется без галок. Сколько было палок и сколько галок?

Решение: Пусть $x$ – количество палок, $y$ – количество галок. Если на каждую палку сядет по галке, то одной галке не хватит палки: $x = y - 1$. Если на каждую палку сядут по две галки, то одна палка останется без галок: $y = 2(x - 1)$. Подставим первое уравнение во второе: $y = 2((y - 1) - 1) = 2(y - 2) = 2y - 4$. $y = 2y - 4 \Rightarrow y = 4$. Тогда $x = y - 1 = 4 - 1 = 3$.

Ответ: Было 3 палки и 4 галки.

День 27. Суббота.

Задача 27-1. В среду в шестом классе должно быть 5 уроков: русский язык, математика, география, английский язык и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день, если математика должна быть первым уроком?

Решение: Если математика всегда первый урок, то остается 4 предмета для 4 мест. Количество вариантов равно $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$.

Ответ: 24 различных варианта расписания.

Задача 27-2. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что выпадут две четные цифры?

Решение: На каждом кубике 6 граней, из них 3 четные (2, 4, 6). Вероятность выпадения четной цифры на одном кубике равна $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Вероятность выпадения двух четных цифр равна $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: Вероятность равна $\frac{1}{4}$.

День 28. Воскресенье.

Задача 28-2. "Ежик". Вычислите сумму цифр, при помощи которых изображен ежик. При вычислении суммы слагаемыми считаются любые изображения цифры, в том числе и зеркальные отображения.

Решение: На рисунке изображены цифры: 6, 1, 1, 1, 1, 1, 1. Сумма цифр: $6 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 12$.

Ответ: Сумма цифр равна 12.