реши все задания

Конечно, решим все задания по порядку:

Задание 7

На рисунке 47 изображены три прямые, пересекающиеся в точке O. Найдите сумму углов ∠1 + ∠2 + ∠3.

Решение:

Углы ∠1, ∠2 и ∠3 являются вертикальными углами к углам, которые вместе образуют развёрнутый угол (180°). Так как вертикальные углы равны, то сумма ∠1 + ∠2 + ∠3 равна половине полного угла (360°), делённой на 2, то есть 180°. Вертикальные углы попарно равны, и три пары этих углов вместе образуют полный круг, то есть 360 градусов. Поскольку нас просят найти сумму трех углов, которые не являются смежными, мы можем взять половину от 360 градусов.

Ответ: ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°

Задание 8

На рисунке 48 ∠AOB = 50°, ∠FOE = 70°. Найдите углы AOC, BOD, COE и COD.

Решение:

∠AOB и ∠COD — вертикальные углы, значит, ∠COD = ∠AOB = 50°.

∠FOE и ∠AOC — вертикальные углы, значит, ∠AOC = ∠FOE = 70°.

∠AOB и ∠BOD — смежные углы, значит, ∠BOD = 180° - ∠AOB = 180° - 50° = 130°.

∠FOE и ∠COE — смежные углы, значит, ∠COE = 180° - ∠FOE = 180° - 70° = 110°.

Ответ:

• ∠AOC = 70°
• ∠BOD = 130°
• ∠COE = 110°
• ∠COD = 50°

Задание 9

Прямая *a* пересекает стороны угла A в точках P и Q. Могут ли обе прямые AP и AQ быть перпендикулярными к прямой *a*?

Решение:

Если прямые AP и AQ перпендикулярны к прямой *a*, то углы между ними равны 90°. Это возможно только если точки P и Q совпадают, то есть прямая *a* проходит через вершину угла A. Если точки P и Q не совпадают, то прямые AP и AQ не могут быть одновременно перпендикулярны к прямой *a*.

Ответ: Да, только если прямая a проходит через вершину угла A.

Задание 10

Через точку А, не лежащую на прямой *a*, проведены три прямые, пересекающие прямую *a*. Докажите, что по крайней мере две из них не перпендикулярны к прямой *a*.

Решение:

Предположим, что все три прямые перпендикулярны к прямой *a*. Это означает, что через точку A проходят три различные прямые, каждая из которых образует угол 90° с прямой *a*. Но через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой. Следовательно, наше предположение неверно.

Значит, не все три прямые могут быть перпендикулярны прямой *a*. Таким образом, по крайней мере две из них не перпендикулярны к прямой *a*.

Ответ: Доказано.