Решить задачу

Привет! Давай решим эту задачу вместе.

Условие задачи:

Двое рабочих должны были сделать по 40 деталей каждый. Первый начал работать на 2 часа позже второго. Через 1,5 часа после начала работы первого оказалось, что он сделал на 9 деталей меньше, чем второй. После этого, через 2 часа 30 минут, первому осталось сделать в 2 раза больше деталей, чем второму. Спрашивается, сколько деталей в час делает каждый рабочий.

Решение:

1. Обозначим скорость первого рабочего за $x$ деталей в час, а скорость второго — за $y$ деталей в час.

2. Известно, что через 1,5 часа после начала работы первого он сделал на 9 деталей меньше, чем второй. Второй работал на 2 часа больше, то есть 3,5 часа. Получаем уравнение:

   $$1.5x + 9 = 3.5y$$

3. Также известно, что через 2 часа 30 минут (2,5 часа) после этого первому осталось сделать в 2 раза больше деталей, чем второму. Значит, первый сделал $40 - 2x$, а второй — $40 - 2.5y$. Получаем уравнение:

   $$40 - 2x = 2(40 - 2.5y)$$

4. Упростим второе уравнение:

   $$40 - 2x = 80 - 5y$$ $$5y - 2x = 40$$

5. Теперь у нас есть система уравнений:

   $$\begin{cases} 1.5x + 9 = 3.5y \\ 5y - 2x = 40 \end{cases}$$

6. Выразим $x$ из первого уравнения:

   $$1.5x = 3.5y - 9$$ $$x = \frac{3.5y - 9}{1.5} = \frac{7y - 18}{3}$$

7. Подставим это выражение во второе уравнение:

   $$5y - 2\left(\frac{7y - 18}{3}\right) = 40$$

8. Умножим обе части уравнения на 3:

   $$15y - 2(7y - 18) = 120$$ $$15y - 14y + 36 = 120$$ $$y = 120 - 36 = 84$$

9. Подставим значение $y$ в выражение для $x$:

   $$x = \frac{7(84) - 18}{3} = \frac{588 - 18}{3} = \frac{570}{3} = 190$$

Проверим решение. Если первый делает 190 деталей в час, а второй 84 детали в час, то что-то не так, потому что всего им нужно сделать по 40 деталей. Значит, где-то есть ошибка. Давай проверим еще раз.

1. Первый начал работать на 2 часа позже второго. Через 1,5 часа после начала работы первого, он сделал на 9 деталей меньше, чем второй. $$1.5x = 3.5y - 9$$
2. Через 2,5 часа после этого, первому осталось сделать в 2 раза больше деталей, чем второму. Это значит, что первому осталось сделать $40 - (1.5 + 2.5)x = 40 - 4x$, а второму $40 - (3.5 + 2.5)y = 40 - 6y$ $$40 - 4x = 2(40 - 6y)$$ $$40 - 4x = 80 - 12y$$ $$12y - 4x = 40$$ $$3y - x = 10$$ $$x = 3y - 10$$

Подставим это в первое уравнение:

$$1.5(3y - 10) = 3.5y - 9$$ $$4.5y - 15 = 3.5y - 9$$ $$y = 6$$

Значит $x = 3(6) - 10 = 8$

Ответ: Первый рабочий делает 8 деталей в час, а второй рабочий делает 6 деталей в час.